Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có ${A}'\left( \sqrt{3};-1;1 \right)$, hai đỉnh $B,C$ thuộc trục $Oz$ và $A{A}'=1$ ( $C$ không trùng với $O$ ). Biết vectơ $\overrightarrow{u}=\left( a;b;2 \right)$ ( với $a,b\in \mathbb{R}$ ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${A}'C$. Tính $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $T=15$.
B. $T=14$.
C. $T=16$.
D. $T=9$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ ; do tam giác $ABC$ đều nên $AI\bot BC\Rightarrow {A}'I\bot BC\Rightarrow I$ là hình chiếu của ${A}'$ trên $BC$. Vì $B,C\in Oz$ nên $I$ là hình chiếu của ${A}'$ trên $Oz\Rightarrow I\left( 0;0;1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{A}'I}=\left( -\sqrt{3};1;0 \right)\Rightarrow {A}'I=2$.
Trong tam giác vuông $A{A}'I$, ta có $AI=\sqrt{{A}'{{I}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $BC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AI=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=2\Rightarrow CI=1$.
Gọi $C\left( 0;0;c \right)\in Oz$. Do $CI=1;I\left( 0;0;1 \right);C\ne O\Rightarrow C\left( 0;0;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{A}'C}\left( -\sqrt{3};1;1 \right)$.
Mà $\overrightarrow{u}=\left( a;b;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${A}'C$ nên $\overrightarrow{{A}'C}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương. Suy ra $\dfrac{a}{-\sqrt{3}}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{2}{1}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2\sqrt{3} \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=16$.
A. $T=15$.
B. $T=14$.
C. $T=16$.
D. $T=9$.
Ta có $\overrightarrow{{A}'I}=\left( -\sqrt{3};1;0 \right)\Rightarrow {A}'I=2$.
Trong tam giác vuông $A{A}'I$, ta có $AI=\sqrt{{A}'{{I}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $BC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AI=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=2\Rightarrow CI=1$.
Gọi $C\left( 0;0;c \right)\in Oz$. Do $CI=1;I\left( 0;0;1 \right);C\ne O\Rightarrow C\left( 0;0;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{A}'C}\left( -\sqrt{3};1;1 \right)$.
Mà $\overrightarrow{u}=\left( a;b;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${A}'C$ nên $\overrightarrow{{A}'C}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương. Suy ra $\dfrac{a}{-\sqrt{3}}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{2}{1}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2\sqrt{3} \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=16$.
Đáp án C.