Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P...

Viết lại mặt phẳng $\left(Q\right):x+y-2z+{\displaystyle \frac{7}{2}}=0$
Gọi $\left(R\right)$ là mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$.
Phương trình của mặt phẳng $\left(R\right)$ là: $\left(R\right):x+y-2z+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{7}{2}}-1}{2}}=0$ ⇔ $\left(R\right):x+y-2z+{\displaystyle \frac{5}{4}}=0$
Yêu cầu bài toán: $\mathrm{\Delta }\in \left(R\right)$ và $\mathrm{\Delta }\cap d\equiv K$ ⇒ $K\equiv d\cap \left(R\right)$. Khi đó, tọa độ của $K$ là nghiệm của hệ: $\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}\\ & x+y-2z+{\displaystyle \frac{5}{4}}=0\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{rl}& x=-{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ & y={\displaystyle \frac{11}{4}}\\ & z=-{\displaystyle \frac{7}{4}}\end{array}$
Ta lại có: $\{\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}\mathrm{\perp }{\overrightarrow{u}}_d\\ & {\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}\mathrm{\perp }{\overrightarrow{n}}_{\left(R\right)}\end{array}$. Do đó $\mathrm{\Delta }$ có một vectơ chỉ phương là: ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}=[{\overrightarrow{n}}_{\left(R\right)};{\overrightarrow{u}}_d]=(1;5;3)$
Vậy phương trình của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{rl}& x=-{\displaystyle \frac{15}{2}}+t\\ & y={\displaystyle \frac{11}{4}}+5t\\ & z=-{\displaystyle \frac{7}{4}}+3t\end{array}$
Cho $t={\displaystyle \frac{1}{4}}$ ⇒ $M(-{\displaystyle \frac{29}{4}};4;-1)\in \mathrm{\Delta }$ ⇒ $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=-{\displaystyle \frac{29}{4}}+t\\ & y=4+5t\\ & z=-1+3t\end{array}$.