Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P...

Viết lại mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-2z+\dfrac{7}{2}=0$
Gọi $\left( R \right)$ là mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Phương trình của mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $\left( R \right):x+y-2z+\dfrac{\dfrac{7}{2}-1}{2}=0$ ⇔ $\left( R \right):x+y-2z+\dfrac{5}{4}=0$
Yêu cầu bài toán: $\Delta \in \left( R \right)$ và $\Delta \cap d\equiv K$ ⇒ $K\equiv d\cap \left( R \right)$. Khi đó, tọa độ của $K$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-2}{1} \\
& x+y-2z+\dfrac{5}{4}=0 \\
\end{aligned} \right. $ ⇔ $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{15}{2} \\
& y=\dfrac{11}{4} \\
& z=-\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Ta lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{\Delta }}\bot {{{\vec{u}}}_{d}} \\
& {{{\vec{u}}}_{\Delta }}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( R \right)}} \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ \Delta $ có một vectơ chỉ phương là: $ {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( R \right)}};{{{\vec{u}}}_{d}} \right]=\left( 1;5;3 \right)$
Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta $ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{15}{2}+t \\
& y=\dfrac{11}{4}+5t \\
& z=-\dfrac{7}{4}+3t \\
\end{aligned} \right.$
Cho $t=\dfrac{1}{4}$ ⇒ $M\left( -\dfrac{29}{4};4;-1 \right)\in \Delta $ ⇒ $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{29}{4}+t \\
& y=4+5t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.$.