Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2\text{z}-3=0,\left( Q \right):x-y+2\text{z}+3=0.$ Có bao nhiêu điểm M có hoành độ nguyên thuộc Ox sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ bằng khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
Do $M\in Ox\Rightarrow M\left( a;0;0 \right),a\in \mathbb{Z}.$
Lấy $A\left( 0;-3;0 \right)\in \left( P \right).$ Ta có $d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| -\left( -3 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}.$
Do đó $d\left( M,\left( P \right) \right)+d\left( M,\left( Q \right) \right)=d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}+\dfrac{\left| a+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \left| a-3 \right|+\left| a+3 \right|=6\left( 1 \right).$
- TH1: Với $a\le -3$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3-a-a-3=6\Leftrightarrow a=-3.$
- TH2: Với $-3<a<3$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -a+3+a+3=6\Leftrightarrow 6=6$ luôn đúng.
Do $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}.$
- TH3: Với $a\ge 3$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow a-3+a+3=6\Leftrightarrow a=3\left( tm \right).$
Vậy có 7 điểm M có hoành độ nguyên thuộc Ox thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lấy $A\left( 0;-3;0 \right)\in \left( P \right).$ Ta có $d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| -\left( -3 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}.$
Do đó $d\left( M,\left( P \right) \right)+d\left( M,\left( Q \right) \right)=d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}+\dfrac{\left| a+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \left| a-3 \right|+\left| a+3 \right|=6\left( 1 \right).$
- TH1: Với $a\le -3$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3-a-a-3=6\Leftrightarrow a=-3.$
- TH2: Với $-3<a<3$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -a+3+a+3=6\Leftrightarrow 6=6$ luôn đúng.
Do $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}.$
- TH3: Với $a\ge 3$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow a-3+a+3=6\Leftrightarrow a=3\left( tm \right).$
Vậy có 7 điểm M có hoành độ nguyên thuộc Ox thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.