Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x-4z+8=0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):3x-4z-12=0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua gốc tọa độ $O$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Biết rằng khi $\left( S \right)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $H\left( a;b;c \right)$, bán kính $r$. Tính $T=25\left( a+c+\dfrac{r}{\sqrt{6}} \right)$.
A. $8\sqrt{6}$.
B. $18$.
C. $5\sqrt{6}$.
D. $43$.
A. $8\sqrt{6}$.
B. $18$.
C. $5\sqrt{6}$.
D. $43$.
Ta có $\left( P \right)\text{//}\left( Q \right)$ $\Rightarrow R=\dfrac{d\left( \left( P \right)\text{;}\left( Q \right) \right)}{2}=\dfrac{\left| 8-\left( -12 \right) \right|}{2\sqrt{{{3}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=2$
Lấy $A\left( 0;0;2 \right)$ và $B\left( 0;0;-3 \right)$ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Gọi $\left( E \right)$ là mặt phẳng song song và cách đều $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ khi đó $\left( E \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;0;-4 \right)$ và đi qua trung điểm của $AB$ $\Rightarrow \left( E \right):3x-4z-2=0$.
Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ và đi qua gốc tọa độ $O$ $\Rightarrow d:\left\{ \begin{matrix}
x=3t \\
y=0 \\
z=-4t \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $H=d\cap \left( E \right)\Rightarrow H\left( 3t;0;-4t \right)\in \left( E \right)\Leftrightarrow 3.3t-4\left( -4t \right)-2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{25}\Rightarrow H\left( \dfrac{6}{25};0;\dfrac{-8}{25} \right)$.
Ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-H{{O}^{2}}}=\sqrt{4-\dfrac{4}{25}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{5}$ $\Rightarrow T=25\left( \dfrac{6}{25}+\dfrac{-8}{25}+\dfrac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{6}} \right)=18$.
Lấy $A\left( 0;0;2 \right)$ và $B\left( 0;0;-3 \right)$ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Gọi $\left( E \right)$ là mặt phẳng song song và cách đều $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ khi đó $\left( E \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;0;-4 \right)$ và đi qua trung điểm của $AB$ $\Rightarrow \left( E \right):3x-4z-2=0$.
Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ và đi qua gốc tọa độ $O$ $\Rightarrow d:\left\{ \begin{matrix}
x=3t \\
y=0 \\
z=-4t \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $H=d\cap \left( E \right)\Rightarrow H\left( 3t;0;-4t \right)\in \left( E \right)\Leftrightarrow 3.3t-4\left( -4t \right)-2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{25}\Rightarrow H\left( \dfrac{6}{25};0;\dfrac{-8}{25} \right)$.
Ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-H{{O}^{2}}}=\sqrt{4-\dfrac{4}{25}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{5}$ $\Rightarrow T=25\left( \dfrac{6}{25}+\dfrac{-8}{25}+\dfrac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{6}} \right)=18$.
Đáp án B.