Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-2=0$ và $\left( Q \right):2x-y+z+1=0.$ Số mặt cầu đi qua $A\left( 1;-2;1 \right)$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( P \right),$ $\left( Q \right)$ là
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
Dễ thấy $\left( P \right)//\left( Q \right).$ Gọi $\left( R \right)$ là mặt phẳng song song và cách đều 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$
Mặt phẳng $\left( R \right)$ có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=\left( 2;-1;1 \right)$ và đi qua trung điểm của $M\left( 0;0;2 \right),N\left( 0;0;-1 \right)$ là điểm $K\left( 0;0;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow \left( R \right):2x-y+z-\dfrac{1}{2}=0$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu cần tìm thì $I\in \left( R \right)$ và $d\left( I;\left( P \right) \right)=IA=R$
Mặt khác $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( \left( R \right);\left( P \right) \right)=d\left( K;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}$
Ta luôn có: $IA\ge d\left( A;\left( R \right) \right)\Leftrightarrow IA\ge \dfrac{3}{2}\Rightarrow $ Không có điểm $A$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mặt phẳng $\left( R \right)$ có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=\left( 2;-1;1 \right)$ và đi qua trung điểm của $M\left( 0;0;2 \right),N\left( 0;0;-1 \right)$ là điểm $K\left( 0;0;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow \left( R \right):2x-y+z-\dfrac{1}{2}=0$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu cần tìm thì $I\in \left( R \right)$ và $d\left( I;\left( P \right) \right)=IA=R$
Mặt khác $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( \left( R \right);\left( P \right) \right)=d\left( K;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}$
Ta luôn có: $IA\ge d\left( A;\left( R \right) \right)\Leftrightarrow IA\ge \dfrac{3}{2}\Rightarrow $ Không có điểm $A$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.