Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z+1=0$ và $\left( Q \right):2x+y+z-1=0.$ Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, (S) cắt (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Tìm r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn bài toán.
A. $r=\sqrt{3}.$
B. $r=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.$
C. $r=\sqrt{2}.$
D. $r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
A. $r=\sqrt{3}.$
B. $r=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.$
C. $r=\sqrt{2}.$
D. $r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
Gọi $I\left( m;0;0 \right)$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính R.
Ta có ${{d}_{1}}=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| m+1 \right|}{\sqrt{6}}$ và ${{d}_{2}}=d\left( I;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{6}}$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}^{2}}=d_{1}^{2}+{{2}^{2}} \\
& {{R}^{2}}=d_{2}^{2}+{{r}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{6}+4=\dfrac{{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}}{6}+{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+25=4{{m}^{2}}-4m+1+6{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-6m+6{{r}^{2}}-24=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+2{{r}^{2}}-8=0\left( 1 \right)$
YCBT (1) có đúng một nghiệm m $\Leftrightarrow {\Delta }'=1-\left( 2{{r}^{2}}-8 \right)=0\Rightarrow r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ta có ${{d}_{1}}=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| m+1 \right|}{\sqrt{6}}$ và ${{d}_{2}}=d\left( I;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{6}}$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}^{2}}=d_{1}^{2}+{{2}^{2}} \\
& {{R}^{2}}=d_{2}^{2}+{{r}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{6}+4=\dfrac{{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}}{6}+{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+25=4{{m}^{2}}-4m+1+6{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-6m+6{{r}^{2}}-24=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+2{{r}^{2}}-8=0\left( 1 \right)$
YCBT (1) có đúng một nghiệm m $\Leftrightarrow {\Delta }'=1-\left( 2{{r}^{2}}-8 \right)=0\Rightarrow r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án D.