Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+5=0$ và $\left( Q \right):x-y+2=90$. Trên $\left( P \right)$ có tam giác ABC, gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên $\left( Q \right)$. Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4, tính diện tích tam giác A'B'C'.
A. $\sqrt{2}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. 2.
D. $4\sqrt{2}.$
A. $\sqrt{2}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. 2.
D. $4\sqrt{2}.$
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left( 2;-1;2 \right),\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\left( 1;-1;0 \right)$ lần lượt là 1 vectơ pháp tuyến của $\left( P \right),\left( Q \right)$.
Khi đó $\cos \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\left| \dfrac{\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|} \right|=\left| \dfrac{2+1+0}{\sqrt{9}\sqrt{2}} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{S}_{\Delta A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.\cos \widehat{\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)}=4.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $\cos \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\left| \dfrac{\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|} \right|=\left| \dfrac{2+1+0}{\sqrt{9}\sqrt{2}} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{S}_{\Delta A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.\cos \widehat{\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)}=4.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
Đáp án B.