Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn với tâm là $I\left( a;b;c \right)$. Tính $a+b+c$.
A. $\dfrac{7}{4}$.
B. $-\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{10}{3}$.
D. $1$.
A. $\dfrac{7}{4}$.
B. $-\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{10}{3}$.
D. $1$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)\in \left( P \right)$ với $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9 \\
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow $ $ 4x-2y+6z+7=0$.
Hay mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ là $\left( P \right):4x-2y+6z+7=0$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ tâm $T\left( 1;1;2 \right)$. Gọi $I$ là tâm của $\left( C \right)$ $\Rightarrow $ $I$ là hình chiếu của $T$ lên $\left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $T$ vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ I\left( 1+2t;1-t;2+3t \right)$.
$I=d\cap \left( P \right)$ $\Rightarrow $ $4\left( 1+2t \right)-2\left( 1-t \right)+6\left( 2+3t \right)+7=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow $ $I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$.
Vậy $a+b+c=1$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9 \\
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow $ $ 4x-2y+6z+7=0$.
Hay mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ là $\left( P \right):4x-2y+6z+7=0$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ tâm $T\left( 1;1;2 \right)$. Gọi $I$ là tâm của $\left( C \right)$ $\Rightarrow $ $I$ là hình chiếu của $T$ lên $\left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $T$ vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ I\left( 1+2t;1-t;2+3t \right)$.
$I=d\cap \left( P \right)$ $\Rightarrow $ $4\left( 1+2t \right)-2\left( 1-t \right)+6\left( 2+3t \right)+7=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow $ $I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$.
Vậy $a+b+c=1$.
Đáp án D.