Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn với tâm là $I\left( a;b;c \right).$ Tính $a+b+c$
A. $\dfrac{7}{4}$
B. $-\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{10}{3}$
D. 1
A. $\dfrac{7}{4}$
B. $-\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{10}{3}$
D. 1
Lấy $\left( {{S}_{1}} \right)-\left( {{S}_{2}} \right),$ ta được $4x-2y+6z+7=0$ là mặt phẳng giao tuyến của $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$
Do đó I là giao điểm của đường thẳng I1I2 và mặt phẳng $\left( P \right):4x-2y+6z+7=0$
Với ${{I}_{1}}\left( 1;1;2 \right),{{I}_{2}}\left( -1;2;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -2;1;-3 \right)$ nên phương trình ${{I}_{1}}{{I}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( 1+2t;1-t;2+3t \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 4\left( 1+2t \right)-2\left( 1-t \right)+6\left( 2+3t \right)+7=0\Rightarrow t=-\dfrac{3}{4}$
Vậy $I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)\xrightarrow{{}}a+b+c=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{4}=1.$
Do đó I là giao điểm của đường thẳng I1I2 và mặt phẳng $\left( P \right):4x-2y+6z+7=0$
Với ${{I}_{1}}\left( 1;1;2 \right),{{I}_{2}}\left( -1;2;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -2;1;-3 \right)$ nên phương trình ${{I}_{1}}{{I}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( 1+2t;1-t;2+3t \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 4\left( 1+2t \right)-2\left( 1-t \right)+6\left( 2+3t \right)+7=0\Rightarrow t=-\dfrac{3}{4}$
Vậy $I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)\xrightarrow{{}}a+b+c=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{4}=1.$
Đáp án D.