Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right) : {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=36$ ; $\left( {{S}_{2}} \right) : {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=49$ và điểm $A\left( 7; 2; -5 \right)$. Xét đường thẳng $\Delta $ di động nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ đồng thời cắt $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm $B,C$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ bằng
A. $20\sqrt{13}$.
B. $16\sqrt{13}$.
C. $8\sqrt{13}$.
D. $18\sqrt{13}$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right) : {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=36$ có tâm $I\left( 1; 2; 3 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=6$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right) : {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=49$ có tâm $I\left( 1; 2; 3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=7$.
Suy ra 2 mặt cầu trên đồng tâm. Dễ kiểm tra được điểm $A\left( 7; 2; -5 \right)$ nằm ngoài $\left( {{S}_{1}} \right)$ và nằm trong $\left( {{S}_{2}} \right)$.
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $IA$ với mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ ( $H$ không thuộc đoạn $IA$ ).
Trong tam giác $BIH$ vuông tại $H$ có: $BH=\sqrt{B{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=\sqrt{{{7}^{2}}-{{6}^{2}}}=\sqrt{13}\Rightarrow BC=2\sqrt{3}$.
Giả sử $\Delta $ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại tiếp điểm $K\ne H$ và cắt $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm ${B}',{C}'$ khác $B,C$ $\Rightarrow {B}'{C}'=BC=2\sqrt{13}$. Ta có: $A{H}'\le AK\le AH$.
Gọi ${H}'$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta $ khi đó. Ta có: ${{S}_{\Delta A{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{H}'.{B}'{C}'=\dfrac{1}{2}A{H}'.2\sqrt{13}=A{H}'\sqrt{13}\le AH\sqrt{13}\Rightarrow {{\left( {{S}_{\Delta A{B}'{C}'}} \right)}_{\max }}=AH\sqrt{13}\Leftrightarrow {H}'\equiv H.$
$\Rightarrow $ Diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất khi $\Delta $ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại tiếp điểm $H$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 6;0;-8 \right)\Rightarrow IA=10.$
Phương trình đường thẳng $IA$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2 \\
& z=3-4t \\
\end{aligned} \right., H\in AI\Rightarrow H\left( 1+3t; 2; 3-4t \right)$.
$H\in \left( {{S}_{1}} \right)\Rightarrow {{\left( 1+3t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4t-3 \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{36}{25}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{6}{5}.$
Với $t=\dfrac{6}{5}$ điểm $H\left( \dfrac{23}{5};2;\dfrac{-9}{5} \right)\Rightarrow AH=16>10=IA\Rightarrow H$ là điểm cần tìm.
Diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là: $S=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.16.2\sqrt{13}=16\sqrt{13}.$
A. $20\sqrt{13}$.
B. $16\sqrt{13}$.
C. $8\sqrt{13}$.
D. $18\sqrt{13}$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right) : {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=49$ có tâm $I\left( 1; 2; 3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=7$.
Suy ra 2 mặt cầu trên đồng tâm. Dễ kiểm tra được điểm $A\left( 7; 2; -5 \right)$ nằm ngoài $\left( {{S}_{1}} \right)$ và nằm trong $\left( {{S}_{2}} \right)$.
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $IA$ với mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ ( $H$ không thuộc đoạn $IA$ ).
Trong tam giác $BIH$ vuông tại $H$ có: $BH=\sqrt{B{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=\sqrt{{{7}^{2}}-{{6}^{2}}}=\sqrt{13}\Rightarrow BC=2\sqrt{3}$.
Giả sử $\Delta $ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại tiếp điểm $K\ne H$ và cắt $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm ${B}',{C}'$ khác $B,C$ $\Rightarrow {B}'{C}'=BC=2\sqrt{13}$. Ta có: $A{H}'\le AK\le AH$.
Gọi ${H}'$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta $ khi đó. Ta có: ${{S}_{\Delta A{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{H}'.{B}'{C}'=\dfrac{1}{2}A{H}'.2\sqrt{13}=A{H}'\sqrt{13}\le AH\sqrt{13}\Rightarrow {{\left( {{S}_{\Delta A{B}'{C}'}} \right)}_{\max }}=AH\sqrt{13}\Leftrightarrow {H}'\equiv H.$
$\Rightarrow $ Diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất khi $\Delta $ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại tiếp điểm $H$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 6;0;-8 \right)\Rightarrow IA=10.$
Phương trình đường thẳng $IA$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2 \\
& z=3-4t \\
\end{aligned} \right., H\in AI\Rightarrow H\left( 1+3t; 2; 3-4t \right)$.
$H\in \left( {{S}_{1}} \right)\Rightarrow {{\left( 1+3t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4t-3 \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{36}{25}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{6}{5}.$
Với $t=\dfrac{6}{5}$ điểm $H\left( \dfrac{23}{5};2;\dfrac{-9}{5} \right)\Rightarrow AH=16>10=IA\Rightarrow H$ là điểm cần tìm.
Diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là: $S=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.16.2\sqrt{13}=16\sqrt{13}.$
Đáp án B.