Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và ${{d}_{2}}\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=3 \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $ {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là:
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+3t \\
& y=1-2t \\
& z=2-5t \\
\end{aligned} \right.$
B. $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=3 \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right.$
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=3+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
& x=t \\
& y=3 \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $ {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là:
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+3t \\
& y=1-2t \\
& z=2-5t \\
\end{aligned} \right.$
B. $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=3 \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right.$
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=3+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
Phương pháp:
- Gọi dlà đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và gọi $A=d\cap {{d}_{1}},B=d\cap {{d}_{2}}.~$
- Tham số hóa tọa độ điểm $A\in {{d}_{1}}$, điểm $B\in {{d}_{2}}$
- dlà đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot {{d}_{1}} \\
& d\bot {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$, giải hệ phương trình tìm ,A B.
- Viết phương trình đường thẳng dđi qua Avà nhận $\overrightarrow{AB}$ là 1 VTCP.
Cách giải:
Gọi dlà đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và gọi $A=d\cap {{d}_{1}},B=d\cap {{d}_{2}}$.
Gọi $A\left( 2+{{t}_{1}};1-{{t}_{1}};2-{{t}_{1}} \right)\in {{d}_{1}},B\left( {{t}_{2}};3;-2+{{t}_{2}} \right).~$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-2;{{t}_{1}}+2;{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-~4 \right).~$
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có VTCP là ${{u}_{1}}=\left( 1;-1;-~1 \right).~$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot {{d}_{1}} \\
& d\bot {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{t}_{1}}+{{t}_{1}}-2-{{t}_{1}}-2-{{t}_{1}}+4=0 \\
& -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-2+{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-4=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3{{t}_{1}}=0 \\
& 2{{t}_{2}}-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow A\left( 2;1;2 \right);B\left( 3;3;1 \right) \\
& \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right) \\
\end{aligned}$
Vậy phương trình đường thẳng dđi qua $A\left( 2;1;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-~1 \right)$. là 1 VTCP là :$\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
- Gọi dlà đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và gọi $A=d\cap {{d}_{1}},B=d\cap {{d}_{2}}.~$
- Tham số hóa tọa độ điểm $A\in {{d}_{1}}$, điểm $B\in {{d}_{2}}$
- dlà đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot {{d}_{1}} \\
& d\bot {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$, giải hệ phương trình tìm ,A B.
- Viết phương trình đường thẳng dđi qua Avà nhận $\overrightarrow{AB}$ là 1 VTCP.
Cách giải:
Gọi dlà đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và gọi $A=d\cap {{d}_{1}},B=d\cap {{d}_{2}}$.
Gọi $A\left( 2+{{t}_{1}};1-{{t}_{1}};2-{{t}_{1}} \right)\in {{d}_{1}},B\left( {{t}_{2}};3;-2+{{t}_{2}} \right).~$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-2;{{t}_{1}}+2;{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-~4 \right).~$
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có VTCP là ${{u}_{1}}=\left( 1;-1;-~1 \right).~$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot {{d}_{1}} \\
& d\bot {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{t}_{1}}+{{t}_{1}}-2-{{t}_{1}}-2-{{t}_{1}}+4=0 \\
& -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-2+{{t}_{1}}+{{t}_{2}}-4=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3{{t}_{1}}=0 \\
& 2{{t}_{2}}-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow A\left( 2;1;2 \right);B\left( 3;3;1 \right) \\
& \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right) \\
\end{aligned}$
Vậy phương trình đường thẳng dđi qua $A\left( 2;1;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-~1 \right)$. là 1 VTCP là :$\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án D.