Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{4}$ ${d}':\dfrac{x-1}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z+4}{c}$ trong đó $a,b,c$ là các số thực khác $0$ sao cho các đường $d$ và ${d}'$ cắt nhau. Khi đó khoảng cách từ giao điểm của $d$ và ${d}'$ đếnmặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+2022=0$ bằng:
A. $2021\sqrt{3}$.
B. $675\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{2023}{\sqrt{3}}$.
D. $2022\sqrt{3}$.
A. $2021\sqrt{3}$.
B. $675\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{2023}{\sqrt{3}}$.
D. $2022\sqrt{3}$.
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3,1,4 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 1,1,-1 \right)$.
$\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{p}}}=3.1+1.1-4.1=0$ suy ra $d \text{//} \left( P \right)$ hoặc $d$ nằm trên $\left( P \right)$.
Lấy $A\left( 0,0,-1 \right)\in d$ thay vào $\left( P \right)$ : $0+0+1+2022\ne 0$. Suy ra $d \text{//} \left( P \right)$.
Khi đó khoảng cách từ giao điểm của $d$ và ${d}'$ đến $\left( P \right)$ bằng khoảng cách từ $d$ đến $\left( P \right)$.
Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ : $d\left( M,\left( P \right) \right)=d\left( d,\left( P \right) \right)=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{|0+0+1+2022|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{2023}{\sqrt{3}}$.
$\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{p}}}=3.1+1.1-4.1=0$ suy ra $d \text{//} \left( P \right)$ hoặc $d$ nằm trên $\left( P \right)$.
Lấy $A\left( 0,0,-1 \right)\in d$ thay vào $\left( P \right)$ : $0+0+1+2022\ne 0$. Suy ra $d \text{//} \left( P \right)$.
Khi đó khoảng cách từ giao điểm của $d$ và ${d}'$ đến $\left( P \right)$ bằng khoảng cách từ $d$ đến $\left( P \right)$.
Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ : $d\left( M,\left( P \right) \right)=d\left( d,\left( P \right) \right)=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{|0+0+1+2022|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{2023}{\sqrt{3}}$.
Đáp án C.