Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ và ${d}':\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-1}{1}$. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với đường thẳng ${d}'$ một góc lớn nhất là
A. $x-z+1=0$.
B. $x-4y+z-7=0$.
C. $3x-2y-2z-1=0$.
D. $-x+4y-z-7=0$.
A. $x-z+1=0$.
B. $x-4y+z-7=0$.
C. $3x-2y-2z-1=0$.
D. $-x+4y-z-7=0$.
Lấy $K\in d$, dựng $KM//{d}'$. Gọi $H$ và $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( P \right)$ và $d$.
Khi đó: $\sin \widehat{\left( {d}';\left( P \right) \right)}=\cos \widehat{KMH}=\dfrac{MH}{KM}\le \dfrac{MI}{KM}$
Do đó góc giữa ${d}'$ và $\left( P \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow K\equiv H$
Khi đó $\left( P \right)\bot IM\Rightarrow \left( P \right)\bot \left( MIK \right)$
Mặt khác $\overrightarrow{{{n}_{\left( MIK \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right]$, lại có $\left( P \right)$ chứa $d$
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right] \right]$, $\left( P \right)$ chứa $d$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $\left( 1;-1;2 \right)$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;1;1 \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}\left( 1;2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right]=\left( -3;0;3 \right)=-3\left( 1;0;-1 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-4;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):x-4y+z-7=0$.
Khi đó: $\sin \widehat{\left( {d}';\left( P \right) \right)}=\cos \widehat{KMH}=\dfrac{MH}{KM}\le \dfrac{MI}{KM}$
Do đó góc giữa ${d}'$ và $\left( P \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow K\equiv H$
Khi đó $\left( P \right)\bot IM\Rightarrow \left( P \right)\bot \left( MIK \right)$
Mặt khác $\overrightarrow{{{n}_{\left( MIK \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right]$, lại có $\left( P \right)$ chứa $d$
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right] \right]$, $\left( P \right)$ chứa $d$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $\left( 1;-1;2 \right)$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;1;1 \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}\left( 1;2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right]=\left( -3;0;3 \right)=-3\left( 1;0;-1 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-4;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):x-4y+z-7=0$.
Đáp án B.