Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng...

Lấy $K\in d$, dựng $KM//d^{\prime }$. Gọi $H$ và $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left(P\right)$ và $d$.
Khi đó: $\sin \widehat{(d^{\prime };\left(P\right))}=\cos \widehat{KMH}={\displaystyle \frac{MH}{KM}}\le {\displaystyle \frac{MI}{KM}}$

Do đó góc giữa $d^{\prime }$ và $\left(P\right)$ lớn nhất $\iff K\equiv H$
Khi đó $\left(P\right)\mathrm{\perp }IM\Rightarrow \left(P\right)\mathrm{\perp }\left(MIK\right)$
Mặt khác $\overrightarrow{n_{\left(MIK\right)}}=[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}]$, lại có $\left(P\right)$ chứa $d$
Suy ra $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=[\overrightarrow{u_d};[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}]]$, $\left(P\right)$ chứa $d$ nên mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $(1;-1;2)$. Ta có: $\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{u_d}(2;1;1)\\ & \overrightarrow{u_{d^{\prime }}}(1;2;1)\end{array}\Rightarrow [\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}]=(-3;0;3)=-3(1;0;-1)$.
Suy ra $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(1;-4;1)\Rightarrow \left(P\right):x-4y+z-7=0$.