Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x+4}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+3}{1}.$ Mặt phẳng $\left( Q \right):ax+by+cz-4=0$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}.$ Tính $a+b+c.$
A. 6.
B. 3.
C. −6.
D. −3.
A. 6.
B. 3.
C. −6.
D. −3.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một VTCP là $\overrightarrow{v}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ nhận $\left[ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right]$ là một VTPT.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{v}=\left( 1;1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{u}=\left( 1;-2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right]=\left( -1;-2;-3 \right)\Rightarrow \left( Q \right) $ sẽ nhận $ \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTPT.
Kết hợp với $\left( Q \right)$ qua $A\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow 1.\left( x-1 \right)+2\left( y-0 \right)+3\left( z-1 \right)=0$.
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+3z-4=0$.
Đường thẳng d qua $M\left( -4;2;-3 \right)$, rõ ràng $M\notin \left( Q \right):x+2y+3z-4=0$
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+3z-4=0$ thỏa mãn.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ nhận $\left[ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right]$ là một VTPT.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{v}=\left( 1;1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{u}=\left( 1;-2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right]=\left( -1;-2;-3 \right)\Rightarrow \left( Q \right) $ sẽ nhận $ \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTPT.
Kết hợp với $\left( Q \right)$ qua $A\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow 1.\left( x-1 \right)+2\left( y-0 \right)+3\left( z-1 \right)=0$.
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+3z-4=0$.
Đường thẳng d qua $M\left( -4;2;-3 \right)$, rõ ràng $M\notin \left( Q \right):x+2y+3z-4=0$
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+3z-4=0$ thỏa mãn.
Đáp án A.