Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$ và ${d}':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{1}$. Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+2=0$ chứa d và tạo với ${d}'$ một góc lớn nhất. Tính a + b + c.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
Lấy $A\left( 1;-2;1 \right)\in d$, qua A kẻ ${d}''//{d}'\Rightarrow {d}'':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Lấy $I\left( 0;-3;0 \right)\in {d}''$, kẻ $IH\bot \left( P \right),IK\bot d$ (K cố định và H thay đổi).
Ta có $\left( \widehat{{d}';\left( P \right)} \right)=\left( \widehat{{d}'';\left( P \right)} \right)=\widehat{IAH}$ mà $\sin \widehat{IAH}=\dfrac{IH}{IA}\le \dfrac{IK}{IA}\left( const \right)$.
Dấu "=" xảy ra $H\equiv K\text{ hay }IK\bot \left( P \right)$.
Điểm $K\in \left( d \right)\Rightarrow K\left( t+1;-t-2;t+1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( t+1;1-t;t+1 \right)$.
Khi đó
$IK\bot d\Rightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( t+1 \right)-\left( 1-t \right)+\left( t+1 \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$ là một VTPT nên nhận $\overrightarrow{n}\left( 1;2;1 \right)$ là một VTPT.
Kết hợp $\left( P \right)$ qua $A\left( 1;-2;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):\left( x-1 \right)+2\left( y+2 \right)+\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+z+2=0$.
Lấy $I\left( 0;-3;0 \right)\in {d}''$, kẻ $IH\bot \left( P \right),IK\bot d$ (K cố định và H thay đổi).
Ta có $\left( \widehat{{d}';\left( P \right)} \right)=\left( \widehat{{d}'';\left( P \right)} \right)=\widehat{IAH}$ mà $\sin \widehat{IAH}=\dfrac{IH}{IA}\le \dfrac{IK}{IA}\left( const \right)$.
Dấu "=" xảy ra $H\equiv K\text{ hay }IK\bot \left( P \right)$.
Điểm $K\in \left( d \right)\Rightarrow K\left( t+1;-t-2;t+1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( t+1;1-t;t+1 \right)$.
Khi đó
$IK\bot d\Rightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( t+1 \right)-\left( 1-t \right)+\left( t+1 \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$ là một VTPT nên nhận $\overrightarrow{n}\left( 1;2;1 \right)$ là một VTPT.
Kết hợp $\left( P \right)$ qua $A\left( 1;-2;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):\left( x-1 \right)+2\left( y+2 \right)+\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+z+2=0$.
Đáp án B.