Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 1}{1}

và

d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{1}

. Mặt phẳng

(P) : a x + b y + c z + 2 = 0

chứa d và tạo với

d^{'}

một góc lớn nhất. Tính a + b + c.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.

Lấy

A (1; - 2; 1) \in d

, qua A kẻ

d^{″} / / d^{'} \Rightarrow d^{″} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1}

.
Lấy

I (0; - 3; 0) \in d^{″}

, kẻ

I H ⊥ (P), I K ⊥ d

(K cố định và H thay đổi).

Ta có

(\hat{d^{'}; (P)}) = (\hat{d^{″}; (P)}) = \hat{I A H}

mà

\sin \hat{I A H} = \frac{I H}{I A} \leq \frac{I K}{I A} (c o n s t)

.
Dấu "=" xảy ra

H \equiv K hay I K ⊥ (P)

.
Điểm

K \in (d) \Rightarrow K (t + 1; - t - 2; t + 1) \Rightarrow \vec{I K} = (t + 1; 1 - t; t + 1)

.
Khi đó

I K ⊥ d \Rightarrow \vec{I K} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow (t + 1) - (1 - t) + (t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3} \Rightarrow \vec{I K} = (\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \frac{2}{3})

.
Mặt phẳng

(P)

nhận

\vec{I K} = (\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \frac{2}{3})

là một VTPT nên nhận

\vec{n} (1; 2; 1)

là một VTPT.
Kết hợp

(P)

qua

A (1; - 2; 1) \Rightarrow (P) : (x - 1) + 2 (y + 2) + (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + z + 2 = 0

.

Đáp án B.