Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng...

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa d và ${d}'$ nếu nó đi qua $M=d\cap {d}'$ và nhận $\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right]$ làm vectơ pháp tuyến.
$d:\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-4}{3}\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1-2{t}' \\
& y=-2+{t}' \\
& z=4+3{t}' \\
\end{aligned} \right.$
Gọi M là giao điểm của d và ${d}'$, khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& 1-2{t}'=-1+t \\
& -2+{t}'=-t \\
& 4+3{t}'=-2+3t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'+t=2 \\
& -{t}'-t=-2 \\
& -3{t}'+3t=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $M\left( 1;-2;4 \right).$
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -2;1;3 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( 1;-1;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right]=\left( 6;9;1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 1;-2;4 \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 6;9;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên
$\left( P \right):6\left( x-1 \right)+9\left( y+2 \right)+1\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow 6x+9y+z+8=0.$