Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\left( \Delta \right):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và $\left( {{\Delta }'} \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{1}$. Xét điểm $M$ thay đổi. Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $\Delta ,{\Delta }'$. Biểu thức ${{a}^{2}}+2{{b}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M={{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$. Khi đó ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}$ bằng
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. 0.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $\sqrt{2}$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $\Delta ,{\Delta }'$, khi đó $a=MH,b=MK$. $PQ$ là đoạn vuông góc chung của $\Delta ,{\Delta }'\Rightarrow P\left( 0;0;1 \right),Q\left( 1;0;0 \right)$.
Ta có $a+b\ge HK\ge PQ=\sqrt{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{\dfrac{1}{2}}\ge \dfrac{2}{3}{{\left( a+b \right)}^{2}}=\dfrac{4}{3}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $M$ trùng với ${M}'$, nghĩa là $\overrightarrow{MP}=-2.\overrightarrow{MQ}\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{3};0;\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}=\dfrac{2}{3}$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. 0.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $\sqrt{2}$.
Ta có $a+b\ge HK\ge PQ=\sqrt{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{\dfrac{1}{2}}\ge \dfrac{2}{3}{{\left( a+b \right)}^{2}}=\dfrac{4}{3}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $M$ trùng với ${M}'$, nghĩa là $\overrightarrow{MP}=-2.\overrightarrow{MQ}\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{3};0;\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.