Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1-2t \\
& y=t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.; {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+{t}' \\
& y=-1+2{t}' \\
& z=-2{t}' \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):x+y+z+2=0. $ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ \left( P \right) $ và cắt cả hai đường thẳng $ d,{d}'$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-4}$.
C. $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-4}{2}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( 1;1;1 \right).$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d, B=\Delta \cap {d}'$
Vì $A\in d, B\in {d}'$ nên gọi $A\left( -1-2t; t; -1+3t \right)$ và $B\left( 2+{t}'; -1+2{t}'; -2{t}' \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( {t}'+2t+3; 2{t}'-t-1; -2{t}'-3t+1 \right).$
Do $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB},\vec{n}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{{t}'+2t+3}{1}=\dfrac{2{t}'-t-1}{1}=\dfrac{-2{t}'-3t+1}{1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-{t}'=-4 \\
& 2t+4{t}'=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {t}'=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;-1;-4 \right) \\
& B\left( 3; 1; -2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{n}=\left( 1;1;1 \right)$ nên có phương trình $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}.$
& x=-1-2t \\
& y=t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.; {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+{t}' \\
& y=-1+2{t}' \\
& z=-2{t}' \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):x+y+z+2=0. $ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ \left( P \right) $ và cắt cả hai đường thẳng $ d,{d}'$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-4}$.
C. $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-4}{2}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( 1;1;1 \right).$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d, B=\Delta \cap {d}'$
Vì $A\in d, B\in {d}'$ nên gọi $A\left( -1-2t; t; -1+3t \right)$ và $B\left( 2+{t}'; -1+2{t}'; -2{t}' \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( {t}'+2t+3; 2{t}'-t-1; -2{t}'-3t+1 \right).$
Do $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB},\vec{n}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{{t}'+2t+3}{1}=\dfrac{2{t}'-t-1}{1}=\dfrac{-2{t}'-3t+1}{1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-{t}'=-4 \\
& 2t+4{t}'=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {t}'=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;-1;-4 \right) \\
& B\left( 3; 1; -2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{n}=\left( 1;1;1 \right)$ nên có phương trình $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}.$
Đáp án A.