Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=3+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}} $: $ \left\{ \begin{aligned}
& x=7+3s \\
& y=1-s \\
& z=5-s \\
\end{aligned} \right.$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng
A. $\sqrt{31}$.
B. $6\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{62}$.
D. $4\sqrt{2}$.
& x=-1+t \\
& y=3+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}} $: $ \left\{ \begin{aligned}
& x=7+3s \\
& y=1-s \\
& z=5-s \\
\end{aligned} \right.$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng
A. $\sqrt{31}$.
B. $6\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{62}$.
D. $4\sqrt{2}$.
Cách 1:
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right)$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right)$, $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau.
Khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\sqrt{62}$
Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}$.
Cách 2:
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right)$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right)$,
Suy ra $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$.
Suy ra $\left( P \right)$ đi qua ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right)$.
Phương trình $\left( P \right)$ là: $-3\left( x+1 \right)-2\left( y-3 \right)-7\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x+2y+7z+4=0$.
Ta có $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 62 \right|}{\sqrt{9+4+49}}=\sqrt{62}$. Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right)$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right)$, $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau.
Khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\sqrt{62}$
Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}$.
Cách 2:
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right)$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right)$,
Suy ra $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$.
Suy ra $\left( P \right)$ đi qua ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right)$.
Phương trình $\left( P \right)$ là: $-3\left( x+1 \right)-2\left( y-3 \right)-7\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x+2y+7z+4=0$.
Ta có $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 62 \right|}{\sqrt{9+4+49}}=\sqrt{62}$. Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}$.
Đáp án C.