Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng có phương trình ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{3}=y+1=\dfrac{z+3}{2}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-7}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$. Gọi $d$ đường thẳng cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ đồng thời đi qua điểm $M\left( 3;10;1 \right)$. Khi đó điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$ ?
A. $\left( -1;0;5 \right)$.
B. $\left( 5;-1;0 \right)$.
C. $\left( 5;0;-1 \right)$.
D. $\left( 5;0;1 \right)$.
A. $\left( -1;0;5 \right)$.
B. $\left( 5;-1;0 \right)$.
C. $\left( 5;0;-1 \right)$.
D. $\left( 5;0;1 \right)$.
Gọi $d$ cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $A\left( 2+3t;-1+t;-3+2t \right)$ và $B\left( 3+{t}';7-2{t}';1-{t}' \right)$ $\left( t,{t}'\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-3t;11-t;4-2t \right)$ và $\overrightarrow{BM}=\left( -{t}';3+2{t}';{t}' \right)$
Vì $d$ đi qua điểm $M$ nên ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng.
Suy ra $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{BM}\left( k\ne 0 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1-3t}{-{t}'}=\dfrac{11-t}{3+2{t}'}=\dfrac{4-2t}{{{t}'}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1-3t}{-{t}'}=\dfrac{4-2t}{{{t}'}} \\
& \dfrac{1-3t}{-{t}'}=\dfrac{11-t}{3+2{t}'} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-1=4-2t \\
& \left( 1-3t \right)\left( 3+2{t}' \right)=\left( t-11 \right){t}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {t}'=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $d$ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( -2;10;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương, phương trình đường thẳng $d$ khi đó là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3-2m \\
& y=10+10m \\
& z=1+2m \\
\end{aligned} \right.\left( m\in \mathbb{R} \right) $. Nhận thấy điểm $ \left( 5;0;-1 \right) $ thuộc đường thẳng $ d$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-3t;11-t;4-2t \right)$ và $\overrightarrow{BM}=\left( -{t}';3+2{t}';{t}' \right)$
Vì $d$ đi qua điểm $M$ nên ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng.
Suy ra $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{BM}\left( k\ne 0 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1-3t}{-{t}'}=\dfrac{11-t}{3+2{t}'}=\dfrac{4-2t}{{{t}'}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1-3t}{-{t}'}=\dfrac{4-2t}{{{t}'}} \\
& \dfrac{1-3t}{-{t}'}=\dfrac{11-t}{3+2{t}'} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-1=4-2t \\
& \left( 1-3t \right)\left( 3+2{t}' \right)=\left( t-11 \right){t}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {t}'=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $d$ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( -2;10;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương, phương trình đường thẳng $d$ khi đó là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3-2m \\
& y=10+10m \\
& z=1+2m \\
\end{aligned} \right.\left( m\in \mathbb{R} \right) $. Nhận thấy điểm $ \left( 5;0;-1 \right) $ thuộc đường thẳng $ d$.
Đáp án C.