Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+2t \\ & y=-1-t \\ & z=1 \\ \end{aligned} \right. $...

Gọi $MN$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d$ và $d'$ (khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d$ và $d'$ ) với $M\in d$ và $N\in d'.$
Tạo độ của hai điểm $M,N$ có dạng: $M\left( 1+2{{t}_{1}};-1-{{t}_{1}};1 \right)$ và $N\left( 2-{{t}_{2}};-2+{{t}_{2}};3+{{t}_{2}} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 1-2{{t}_{1}}-{{t}_{2}};-1+{{t}_{1}}+{{t}_{2}};2+{{t}_{2}} \right).$
Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-1;0 \right)$
Đường thẳng $d'$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;1;1 \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
& \overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( 1-2{{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)-\left( -1+{{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=0 \\
& -\left( 1-2{{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)+\left( -1+{{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+\left( 2+{{t}_{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{3}{2} \\
& {{t}_{2}}=\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{1}{2};-1;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{6}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$