Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $\mathrm{A}(2 ;-2 ; 4)...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (2; - 2; 4), B (- 3; 3; - 1)

và mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z - 8 = 0 .

Xét điểm

M

là điểm thay đổi thuộc

(P)

, giá trị nhỏ nhất của

2 M A^{2} + 3 M B^{2}

bằng
A.

135.

B.

105.

C.

108.

D.

145.

Gọi

I

là điểm thỏa mãn

2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0} \Rightarrow {\begin{cases} x_{I} = \frac{2 x_{A} + 3 x_{B}}{5} \\ y_{I} = \frac{2 y_{A} + 3 y_{B}}{5} \Rightarrow I (- 1; 1; 1) \\ z_{I} = \frac{2 z_{A} + 3 z_{B}}{5} \end{cases}

Khi đó ta có

2 M A^{2} + 3 M B^{2} = 2 (\vec{M I} + \vec{I A})^{2} + 3 (\vec{M I} + \vec{I B})^{2} = 5 M I^{2} + 2 I A^{2} + 3 I B^{2} + 2 \vec{M I} (2 \vec{I A} + 3 \vec{I B})

= 5 M I^{2} + 90 \geq 5 d (I, (P))^{2} + 90 = 135

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

M

là hình chiếu của

I (- 1; 1; 1)

lên

(P)

hay

M (1; 0; 3)

.

Đáp án A.