Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $\mathrm{A}(2 ;-2 ; 4), \mathrm{B}(-3 ; 3 ;-1)$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y+2 z-8=0 .$ Xét điểm $\mathrm{M}$ là điểm thay đổi thuộc $(\mathrm{P})$, giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2}+3 M B^{2}$ bằng
A. $135.$
B. $105.$
C. $108.$
D. $145.$
A. $135.$
B. $105.$
C. $108.$
D. $145.$
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2 \overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{I}=\dfrac{2 x_{A}+3 x_{B}}{5} \\ y_{I}=\dfrac{2 y_{A}+3 y_{B}}{5} \Rightarrow I(-1 ; 1 ; 1) \\ z_{I}=\dfrac{2 z_{A}+3 z_{B}}{5}\end{array}\right.$
Khi đó ta có
$2 M A^{2}+3 M B^{2}=2(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})^{2}+3(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B})^{2}=5 M I^{2}+2 I A^{2}+3 I B^{2}+2 \overrightarrow{M I}(2 \overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I B})$
$=5 M I^{2}+90 \geq 5 d(I,(P))^{2}+90=135$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $I(-1 ; 1 ; 1)$ lên $(P)$ hay $M(1 ; 0 ; 3)$.
Khi đó ta có
$2 M A^{2}+3 M B^{2}=2(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})^{2}+3(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B})^{2}=5 M I^{2}+2 I A^{2}+3 I B^{2}+2 \overrightarrow{M I}(2 \overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I B})$
$=5 M I^{2}+90 \geq 5 d(I,(P))^{2}+90=135$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $I(-1 ; 1 ; 1)$ lên $(P)$ hay $M(1 ; 0 ; 3)$.
Đáp án A.