Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M\left( -2;-2;1 \right),$ $A\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.
A. $\vec{u}=\left( 2;2;-1 \right)$
B. $\vec{u}=\left( 1;7;-1 \right)$
C. $\vec{u}=\left( 1;0;2 \right)$
D. $\vec{u}=\left( 3;4;-4 \right)$
A. $\vec{u}=\left( 2;2;-1 \right)$
B. $\vec{u}=\left( 1;7;-1 \right)$
C. $\vec{u}=\left( 1;0;2 \right)$
D. $\vec{u}=\left( 3;4;-4 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó $\left( P \right)$ chứa Δ.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( -2;-2;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow \left( P \right):2\text{x}+2y-z+9=0$.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên $\left( P \right)$ và Δ.
Ta có $d\left( A;\Delta \right)=AK\ge AH$ (không đổi), dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H\equiv K$.
Đường thẳng AH đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$.
Mà $H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)$
Đường thẳng Δ nhận $\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)$ là một VTCP.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( -2;-2;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow \left( P \right):2\text{x}+2y-z+9=0$.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên $\left( P \right)$ và Δ.
Ta có $d\left( A;\Delta \right)=AK\ge AH$ (không đổi), dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H\equiv K$.
Đường thẳng AH đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$.
Mà $H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)$
Đường thẳng Δ nhận $\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)$ là một VTCP.
Đáp án C.