Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( 2; 1; 1 \right)$ và $N\left( -1; 0; 0 \right)$. Xét hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $1$, có các cạnh song song với các trục tọa độ và các mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ lần lượt có phương trình là $z=0$ và $z=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+{C}'N$ bằng
A. $2\sqrt{5}$.
B. $2\sqrt{6}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{2}$.
A. $2\sqrt{5}$.
B. $2\sqrt{6}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Gọi $A\left( a; b; 0 \right)\in \left( Oxy \right)$, vì $A{C}'=\sqrt{3} v\grave{a} {C}'\in mp: z=1$ nên tọa độ ${C}'$ có thể xảy ra
+ TH1: ${C}'\left( a+1; b+1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{6}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a+2 \\
& 1-b=b+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 0; 0; 0 \right)\equiv O$ (loại).
+ TH2: ${C}'\left( a+1; b-1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{0}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a+2 \\
& 1-b=b-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 0; 1; 0 \right)\in Oy$ (loại).
+ TH3: ${C}'\left( a-1; b+1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{3}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a \\
& 1-b=b+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 1; 0; 0 \right)\in Ox$ (loại).
+ TH4: ${C}'\left( a-1; b-1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{2}^{2}}+{{0}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a \\
& 1-b=b-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 1; 1; 0 \right)\in \left( Oxy \right)$.
Vậy ${{\left( AM+{C}'N \right)}_{\min }}=2\sqrt{2} khi A\left( 1; 1; 0 \right).$
+ TH1: ${C}'\left( a+1; b+1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{6}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a+2 \\
& 1-b=b+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 0; 0; 0 \right)\equiv O$ (loại).
+ TH2: ${C}'\left( a+1; b-1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{0}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a+2 \\
& 1-b=b-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 0; 1; 0 \right)\in Oy$ (loại).
+ TH3: ${C}'\left( a-1; b+1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{3}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a \\
& 1-b=b+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 1; 0; 0 \right)\in Ox$ (loại).
+ TH4: ${C}'\left( a-1; b-1; 1 \right)$
$AM+{C}'N=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{2}^{2}}+{{0}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}$,
khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2-a=a \\
& 1-b=b-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\to A\left( 1; 1; 0 \right)\in \left( Oxy \right)$.
Vậy ${{\left( AM+{C}'N \right)}_{\min }}=2\sqrt{2} khi A\left( 1; 1; 0 \right).$
Đáp án D.