Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $M (2; 1; 1)$ và...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

M (2; 1; 1)

và

N (- 1; 0; 0)

. Xét hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có cạnh bằng

1

, có các cạnh song song với các trục tọa độ và các mặt phẳng

(A B C D)

,

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

lần lượt có phương trình là

z = 0

và

z = 1

. Giá trị nhỏ nhất của

A M + C^{'} N

bằng
A.

2 \sqrt{5}

.
B.

2 \sqrt{6}

.
C.

2 \sqrt{3}

.
D.

2 \sqrt{2}

.

Gọi

A (a; b; 0) \in (O x y)

, vì

A C^{'} = \sqrt{3} v \overset{`}{a} C^{'} \in m p : z = 1

nên tọa độ

C^{'}

có thể xảy ra
+ TH1:

C^{'} (a + 1; b + 1; 1)

A M + C^{'} N = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1^{2}} + \sqrt{{(a + 2)}^{2} + {(b + 1)}^{2} + 1^{2}} \geq \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{6}

,
khi

{\begin{aligned} 2 - a = a + 2 \\ 1 - b = b + 1 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 0 \\ b = 0 \end{aligned} \to A (0; 0; 0) \equiv O

(loại).
+ TH2:

C^{'} (a + 1; b - 1; 1)

A M + C^{'} N = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1^{2}} + \sqrt{{(a + 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1^{2}} \geq \sqrt{4^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}

,
khi

{\begin{aligned} 2 - a = a + 2 \\ 1 - b = b - 1 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 0 \\ b = 1 \end{aligned} \to A (0; 1; 0) \in O y

(loại).
+ TH3:

C^{'} (a - 1; b + 1; 1)

A M + C^{'} N = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1^{2}} + \sqrt{a^{2} + {(b + 1)}^{2} + 1^{2}} \geq \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{3}

,
khi

{\begin{aligned} 2 - a = a \\ 1 - b = b + 1 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 1 \\ b = 0 \end{aligned} \to A (1; 0; 0) \in O x

(loại).
+ TH4:

C^{'} (a - 1; b - 1; 1)

A M + C^{'} N = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1^{2}} + \sqrt{a^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1^{2}} \geq \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}

,
khi

{\begin{aligned} 2 - a = a \\ 1 - b = b - 1 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 1 \\ b = 1 \end{aligned} \to A (1; 1; 0) \in (O x y)

.
Vậy

{(A M + C^{'} N)}_{min} = 2 \sqrt{2} k h i A (1; 1; 0) .

Đáp án D.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;1;1) và...