Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M\left( 1; 2; 3 \right)$, $A\left( 2; 4; 4 \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2\text{z}=0$, $\left( Q \right):x-2y-z+4=0$. Đường thẳng $\Delta $ qua điểm M, cắt hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ lần lượt tại B và $C\left( a; b; c \right)$ sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. Tính $T=a+b+c$ thu được kết quả
A. $T=9$
B. $T=3$
C. $T=7$
D. $T=5$
A. $T=9$
B. $T=3$
C. $T=7$
D. $T=5$
Gọi mặt phẳng đi qua M nhận $\overrightarrow{MA}\left( 1; 2; 1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $\left( R \right):1\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)+1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+z-8=0$. Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng $\left( R \right)$ và $\left( P \right)$. Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{{{n}_{p}}} \right]=\left( -5; 3; -1 \right)$. Gọi N là giao điểm thuộc giao tuyến của $\left( R \right)$ và $\left( P \right)$ nên tọa độ N là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-8=0 \\
& x+y-2\text{z}+1=0 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=3 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ N\left( 0; 3; 2 \right)$.
Phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0-5t \\
& y=3+3t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ B\in d $ nên $ B\left( -5t; 3+3t; 2-t \right)$
Mặt khác M là trung điểm của đoạn BC nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2.1+5t \\
& {{y}_{C}}=2.2-3-3t \\
& {{z}_{C}}=2.3-2+t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2+5t \\
& {{y}_{C}}=1-3t \\
& {{z}_{C}}=4+t \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác $C\in \left( Q \right)$ nên $2+5t-2\left( 1-3t \right)-\left( 4+t \right)+4=0\Leftrightarrow 10t=0\Leftrightarrow t=0$.
Nên $C\left( 2; 1; 4 \right)$ nên $T=a+b+c=7$.
& x+2y+z-8=0 \\
& x+y-2\text{z}+1=0 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=3 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ N\left( 0; 3; 2 \right)$.
Phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0-5t \\
& y=3+3t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ B\in d $ nên $ B\left( -5t; 3+3t; 2-t \right)$
Mặt khác M là trung điểm của đoạn BC nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2.1+5t \\
& {{y}_{C}}=2.2-3-3t \\
& {{z}_{C}}=2.3-2+t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2+5t \\
& {{y}_{C}}=1-3t \\
& {{z}_{C}}=4+t \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác $C\in \left( Q \right)$ nên $2+5t-2\left( 1-3t \right)-\left( 4+t \right)+4=0\Leftrightarrow 10t=0\Leftrightarrow t=0$.
Nên $C\left( 2; 1; 4 \right)$ nên $T=a+b+c=7$.
Đáp án C.