Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $B\left( 2 ; -1 ; -3 \right)$ và $C\left( -6 ;-1 ;3 \right)$. Trong các tam giác $ABC$ thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau, điểm $A\left( a ;b ;0 \right)$, $\left( b>0 \right)$ sao cho góc $A$ lớn nhất, giá trị của $\dfrac{a+b}{\cos A}$ bằng
A. $15$.
B. $-5$.
C. $10$.
D. $-20$.
A. $15$.
B. $-5$.
C. $10$.
D. $-20$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
$GB\bot GC\Leftrightarrow G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=5B{{C}^{2}}$.
$\cos A=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AB.AC}=\dfrac{4B{{C}^{2}}}{2AB.AC}\ge \dfrac{4B{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{4B{{C}^{2}}}{5B{{C}^{2}}}=\dfrac{4}{5}$. Đẳng thức xảy ra khi $AB=AC$.
Do đó góc $A$ lớn nhất khi $\cos A=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=5B{{C}^{2}}=500\Rightarrow AB=AC=5\sqrt{10}$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9={{\left( a+6 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \\
{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9=250 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=14 \\
\end{aligned} \right. $ (do $ b>0$).
Vậy $\dfrac{a+b}{\cos A}=15$.
$GB\bot GC\Leftrightarrow G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=5B{{C}^{2}}$.
$\cos A=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AB.AC}=\dfrac{4B{{C}^{2}}}{2AB.AC}\ge \dfrac{4B{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{4B{{C}^{2}}}{5B{{C}^{2}}}=\dfrac{4}{5}$. Đẳng thức xảy ra khi $AB=AC$.
Do đó góc $A$ lớn nhất khi $\cos A=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=5B{{C}^{2}}=500\Rightarrow AB=AC=5\sqrt{10}$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9={{\left( a+6 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \\
{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9=250 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=14 \\
\end{aligned} \right. $ (do $ b>0$).
Vậy $\dfrac{a+b}{\cos A}=15$.
Đáp án A.