Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( \dfrac{5+\sqrt{3}}{2};\dfrac{7-\sqrt{3}}{2};3 \right)$, $B\left( \dfrac{5-\sqrt{3}}{2};\dfrac{7+\sqrt{3}}{2};3 \right)$ và mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=6$. Xét mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$, $\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z}:d<-5 \right)$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm $A,B$. Gọi $(N)$ là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu $(S)$ và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$. Tính giá trị của $T=\left| a+b+c+d \right|$ khi thiết diện qua trục của hình nón $(N)$ có diện tích lớn nhất.
A. $T=4$.
B. $T=6$.
C. $T=2$.
D. $T=12$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Có $IA=IB=\sqrt{6}$ nên $A,B$ thuộc mặt cầu $(S)$.
$\overrightarrow{AB}=\left( -\sqrt{3};\sqrt{3};0 \right)=-\sqrt{3}\left( 1;-1;0 \right)=-\sqrt{3}\overrightarrow{a}$, $M\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2};3 \right)$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $\overrightarrow{a}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
Vì $A,B\in (P)$ nên có $\left\{ \begin{aligned}
& I\in (P) \\
& \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5}{2}a+\dfrac{7}{2}b+3c+d=0 \\
& a-b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=-6a-3c \\
& a=b \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $h=d\left( I,(P) \right)$, $(C)=(P)\cap (S)$, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$.
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{6-{{h}^{2}}}$.
Diện tích thiết diện qua trục của hình nón $(N)$.
$S=\dfrac{1}{2}.h.2r=h.\sqrt{6-{{h}^{2}}}\le \dfrac{{{h}^{2}}+6-{{h}^{2}}}{2}=3$.
$MaxS=3$ khi ${{h}^{2}}=6-{{h}^{2}}\Rightarrow h=\sqrt{3}$.
$h=d\left( I,(P) \right)\Leftrightarrow \sqrt{3}=\dfrac{\left| a+2b+3c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=c \\
& a=-c \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $a=c$ thì $b=a;d=-9a$ và $(P):ax+ay+az-9a=0\Leftrightarrow x+y+z-9=0$ (nhận).
Nếu $a=-c$ thì $b=a;d=-3a$ và $(P):ax+ay-az-3a=0\Leftrightarrow x+y-z-3=0$ (loại).
Vây $T=\left| a+b+c+d \right|=6$.
A. $T=4$.
B. $T=6$.
C. $T=2$.
D. $T=12$.
Có $IA=IB=\sqrt{6}$ nên $A,B$ thuộc mặt cầu $(S)$.
$\overrightarrow{AB}=\left( -\sqrt{3};\sqrt{3};0 \right)=-\sqrt{3}\left( 1;-1;0 \right)=-\sqrt{3}\overrightarrow{a}$, $M\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2};3 \right)$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $\overrightarrow{a}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
Vì $A,B\in (P)$ nên có $\left\{ \begin{aligned}
& I\in (P) \\
& \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5}{2}a+\dfrac{7}{2}b+3c+d=0 \\
& a-b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=-6a-3c \\
& a=b \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $h=d\left( I,(P) \right)$, $(C)=(P)\cap (S)$, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$.
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{6-{{h}^{2}}}$.
Diện tích thiết diện qua trục của hình nón $(N)$.
$S=\dfrac{1}{2}.h.2r=h.\sqrt{6-{{h}^{2}}}\le \dfrac{{{h}^{2}}+6-{{h}^{2}}}{2}=3$.
$MaxS=3$ khi ${{h}^{2}}=6-{{h}^{2}}\Rightarrow h=\sqrt{3}$.
$h=d\left( I,(P) \right)\Leftrightarrow \sqrt{3}=\dfrac{\left| a+2b+3c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=c \\
& a=-c \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $a=c$ thì $b=a;d=-9a$ và $(P):ax+ay+az-9a=0\Leftrightarrow x+y+z-9=0$ (nhận).
Nếu $a=-c$ thì $b=a;d=-3a$ và $(P):ax+ay-az-3a=0\Leftrightarrow x+y-z-3=0$ (loại).
Vây $T=\left| a+b+c+d \right|=6$.
-----------------HẾT---------------
Đáp án B.