Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;2;8)$...

Giả sử mặt nón $\left(N\right)$ có đường tròn đáy có tâm $H$ bán kính $r$ ; chiều cao $AH=h$ ; mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$, bán kính $R={\displaystyle \frac{1}{2}}AB=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ $I$ là trung điểm $AB$.
Mặt phẳng cần tìm là $\left(P\right)$. Dễ thấy $AB\mathrm{\perp }\left(P\right)$.
Lấy $M$ bất kỳ thuộc đường tròn đáy của hình nón. Dễ thấy tam giác $ABM$ $ABM$ vuông tại $M$ và $H{M}^2=HA.HB$ $\iff$ $r^2=h.(AB-h)=h.(10\sqrt{2}-h)$.
Thể tích của khối nón là:
$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi h^2.(10\sqrt{2}-h)={\displaystyle \frac{1}{6}}\pi h^2.(20\sqrt{2}-2h)\le {\displaystyle \frac{1}{6}}\pi {\left({\displaystyle \frac{h+h+20\sqrt{2}-2h}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{8000\sqrt{2}}{81}}$.
Dấu bằng xảy ra $\iff$ $h={\displaystyle \frac{20\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}AB$ $\iff$ $AH={\displaystyle \frac{2}{3}}AB$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AH}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow$ $H(0;-{\displaystyle \frac{10}{3}};{\displaystyle \frac{4}{3}})$
Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $H(0;-{\displaystyle \frac{10}{3}};{\displaystyle \frac{4}{3}})$ và nhận vector $\overrightarrow{AB}=(-6;-8;-10)$ có phương trình là: $-6(x-0)-8(y+{\displaystyle \frac{10}{3}})-10(z-{\displaystyle \frac{4}{3}})=0$ hay $3x+4y+5z+{\displaystyle \frac{20}{3}}=0$.
$\Rightarrow$ $b=4$ ; $c=5$ ; $d={\displaystyle \frac{20}{3}}$.
Vậy $b+c+d={\displaystyle \frac{47}{3}}$.