Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 4 ; 2 ; 8 \right)$ và $B\left( -2 ; -6 ; -2 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $A$, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi khối nón $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của khối nón $\left( N \right)$ có phương trình dạng $3x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng:
A. $47$.
B. $\dfrac{47}{3}$.
C. $-\dfrac{47}{3}$.
D. $-47$.
Giả sử mặt nón $\left( N \right)$ có đường tròn đáy có tâm $H$ bán kính $r$ ; chiều cao $AH=h$ ; mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$, bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow $ $I$ là trung điểm $AB$.
Mặt phẳng cần tìm là $\left( P \right)$. Dễ thấy $AB\bot \left( P \right)$.
Lấy $M$ bất kỳ thuộc đường tròn đáy của hình nón. Dễ thấy tam giác $ABM$ $ABM$ vuông tại $M$ và $H{{M}^{2}}=HA.HB$ $\Leftrightarrow $ ${{r}^{2}}=h.\left( AB-h \right)=h.\left( 10\sqrt{2}-h \right)$.
Thể tích của khối nón là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{2}}.\left( 10\sqrt{2}-h \right)=\dfrac{1}{6}\pi {{h}^{2}}.\left( 20\sqrt{2}-2h \right)\le \dfrac{1}{6}\pi {{\left( \dfrac{h+h+20\sqrt{2}-2h}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8000\sqrt{2}}{81}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $ $h=\dfrac{20\sqrt{2}}{3}=\dfrac{2}{3}AB$ $\Leftrightarrow $ $AH=\dfrac{2}{3}AB$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow $ $H\left( 0 ; -\dfrac{10}{3} ; \dfrac{4}{3} \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( 0 ; -\dfrac{10}{3} ; \dfrac{4}{3} \right)$ và nhận vector $\overrightarrow{AB}=\left( -6 ; -8 ; -10 \right)$ có phương trình là: $-6\left( x-0 \right)-8\left( y+\dfrac{10}{3} \right)-10\left( z-\dfrac{4}{3} \right)=0$ hay $3x+4y+5z+\dfrac{20}{3}=0$.
$\Rightarrow $ $b=4$ ; $c=5$ ; $d=\dfrac{20}{3}$.
Vậy $b+c+d=\dfrac{47}{3}$.
A. $47$.
B. $\dfrac{47}{3}$.
C. $-\dfrac{47}{3}$.
D. $-47$.
Giả sử mặt nón $\left( N \right)$ có đường tròn đáy có tâm $H$ bán kính $r$ ; chiều cao $AH=h$ ; mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$, bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow $ $I$ là trung điểm $AB$.
Mặt phẳng cần tìm là $\left( P \right)$. Dễ thấy $AB\bot \left( P \right)$.
Lấy $M$ bất kỳ thuộc đường tròn đáy của hình nón. Dễ thấy tam giác $ABM$ $ABM$ vuông tại $M$ và $H{{M}^{2}}=HA.HB$ $\Leftrightarrow $ ${{r}^{2}}=h.\left( AB-h \right)=h.\left( 10\sqrt{2}-h \right)$.
Thể tích của khối nón là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{2}}.\left( 10\sqrt{2}-h \right)=\dfrac{1}{6}\pi {{h}^{2}}.\left( 20\sqrt{2}-2h \right)\le \dfrac{1}{6}\pi {{\left( \dfrac{h+h+20\sqrt{2}-2h}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8000\sqrt{2}}{81}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $ $h=\dfrac{20\sqrt{2}}{3}=\dfrac{2}{3}AB$ $\Leftrightarrow $ $AH=\dfrac{2}{3}AB$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow $ $H\left( 0 ; -\dfrac{10}{3} ; \dfrac{4}{3} \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( 0 ; -\dfrac{10}{3} ; \dfrac{4}{3} \right)$ và nhận vector $\overrightarrow{AB}=\left( -6 ; -8 ; -10 \right)$ có phương trình là: $-6\left( x-0 \right)-8\left( y+\dfrac{10}{3} \right)-10\left( z-\dfrac{4}{3} \right)=0$ hay $3x+4y+5z+\dfrac{20}{3}=0$.
$\Rightarrow $ $b=4$ ; $c=5$ ; $d=\dfrac{20}{3}$.
Vậy $b+c+d=\dfrac{47}{3}$.
Đáp án B.