Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 3;-4;5 \right),B\left( -5;6;-7 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x+2y+z-10=0$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $M{{A}^{2}}-3M{{B}^{2}}$ có giá trị lớn nhất. Tổng $a+b+c$ bằng
A. 29.
B. 1.
C. 7.
D. 23.
A. 29.
B. 1.
C. 7.
D. 23.
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, suy ra $I\left( -9;11;-13 \right)$.
Ta có $M{{A}^{2}}-3M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-3{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ '
$=-2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}-3I{{B}^{2}}=-2M{{I}^{2}}+\left( I{{A}^{2}}-3I{{B}^{2}} \right)$.
Do đó $M{{A}^{2}}-3M{{B}^{2}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow -2M{{I}^{2}}$ lớn nhất MI nhỏ nhất
$\Leftrightarrow M\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$. Do đó $M\left( -3;15;-11 \right)$.
Ta có $M{{A}^{2}}-3M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-3{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ '
$=-2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}-3I{{B}^{2}}=-2M{{I}^{2}}+\left( I{{A}^{2}}-3I{{B}^{2}} \right)$.
Do đó $M{{A}^{2}}-3M{{B}^{2}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow -2M{{I}^{2}}$ lớn nhất MI nhỏ nhất
$\Leftrightarrow M\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$. Do đó $M\left( -3;15;-11 \right)$.
Đáp án B.