Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 3;-2;6 \right),B\left( 0;1;0 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$. Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-2=0$ đi qua A, B và cắt mặt cầu theo giao tuyến $\left( S \right)$ là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$.
A. $T=3.$
B. $T=4.$
C. $T=5.$
D. $T=2.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=5$.
Giả sử $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính R'.
Ta có: $R{{'}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}=25-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}$.
$\Rightarrow R'$ nhỏ nhất khi $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất.
Lại có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=IH\le IK=d\left( I;AB \right)=$ hằng số.
$\Rightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất bằng IK khi $\left( P \right)$ đi qua K và vuông góc với IK.
Tìm tọa độ điểm K
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $I\left( 1;2;3 \right)$ và vuông góc với AB là $x-y+2z-5=0$.
Phương trình đường thẳng AB đi qua $B\left( 0;1;0 \right)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( -3;3;-6 \right)=-3\left( 1;-1;2 \right)$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$.
$K=AB\cap \left( Q \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& K\in AB \\
& K\in \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& K\left( {{t}_{0}};1-{{t}_{0}};2{{t}_{0}} \right) \\
& K\in \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( 1;0;2 \right).$
Phương trình $\left( P \right)$ đi qua $K\left( 1;0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IK}=\left( 0;-2;-1 \right)=-1\left( 0;2;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $2y+z-2=0\Rightarrow a=0;b=2;c=1\Rightarrow T=a+b+c=3$.
A. $T=3.$
B. $T=4.$
C. $T=5.$
D. $T=2.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=5$.
Giả sử $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính R'.
Ta có: $R{{'}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}=25-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}$.
$\Rightarrow R'$ nhỏ nhất khi $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất.
Lại có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=IH\le IK=d\left( I;AB \right)=$ hằng số.
$\Rightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất bằng IK khi $\left( P \right)$ đi qua K và vuông góc với IK.
Tìm tọa độ điểm K
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $I\left( 1;2;3 \right)$ và vuông góc với AB là $x-y+2z-5=0$.
Phương trình đường thẳng AB đi qua $B\left( 0;1;0 \right)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( -3;3;-6 \right)=-3\left( 1;-1;2 \right)$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$.
$K=AB\cap \left( Q \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& K\in AB \\
& K\in \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& K\left( {{t}_{0}};1-{{t}_{0}};2{{t}_{0}} \right) \\
& K\in \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( 1;0;2 \right).$
Phương trình $\left( P \right)$ đi qua $K\left( 1;0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IK}=\left( 0;-2;-1 \right)=-1\left( 0;2;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $2y+z-2=0\Rightarrow a=0;b=2;c=1\Rightarrow T=a+b+c=3$.
Đáp án A.