Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( -3;\ 2;\ -1 \right),\ B\left( -1;\ 0;\ -1 \right)$ ; Điểm $M\left( a;\ b;\ 0 \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tính $a+2b$ ?
A. $0$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $3$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $3$.
Ta có $\overrightarrow{MA}\left( -3-a; 2-b; -1 \right)$, $\overrightarrow{MB}\left( -1-a; -b; -1 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left( -3-a \right)\left( -1-a \right)-b\left( 2-b \right)+1$ $={{a}^{2}}+4a+{{b}^{2}}-2b+4$
$={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}-1$ $\ge -1 \forall a, b$.
Do đó, $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất bằng $-1$, khi và chỉ khi $a=-2, b=1$. Khi đó, $a+2b=0$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left( -3-a \right)\left( -1-a \right)-b\left( 2-b \right)+1$ $={{a}^{2}}+4a+{{b}^{2}}-2b+4$
$={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}-1$ $\ge -1 \forall a, b$.
Do đó, $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất bằng $-1$, khi và chỉ khi $a=-2, b=1$. Khi đó, $a+2b=0$.
Đáp án A.