Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( -3;0;1 \right)$, $B\left( 1;-1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-5=0$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.
A. $d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
B. $d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{2}$
C. $d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{2}$
D. $d:\dfrac{x+3}{-26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
A. $d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
B. $d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{2}$
C. $d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{2}$
D. $d:\dfrac{x+3}{-26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Gọi mặt phẳng $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua A và chứa $d\Rightarrow \left( Q \right)\text{ // }\left( P \right)$
$\Rightarrow \left( Q \right):\left( x+3 \right)-2y+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+2z+1=0.$
Kẻ $BK\bot d\left( K\in d \right);BH\bot \left( Q \right)$ tại H.
Ta có $d\left( B;d \right)=BK\ge BH=d\left( B;\left( Q \right) \right)$ (không đổi), dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow K\equiv H$.
Khi đó d qua $A\left( -3;0;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AH}$ là một VTCP.
Đường thẳng BH qua $B\left( 1;-1;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ là một VTCP.
$\Rightarrow BH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( t+1;-2t-1;2t+3 \right)$.
Mà $H\in \left( Q \right)\Rightarrow \left( t+1 \right)-2\left( -2t-1 \right)+2\left( 2t+3 \right)+1=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{10}{9}\Rightarrow H\left( -\dfrac{1}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{7}{9} \right).$
Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{26}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{-2}{9} \right)=\dfrac{1}{9}\left( 26;11;-2 \right)$ là một VTCP.
Kết hợp với d qua $A\left( -3;0;1 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}.$
$\Rightarrow \left( Q \right):\left( x+3 \right)-2y+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+2z+1=0.$
Kẻ $BK\bot d\left( K\in d \right);BH\bot \left( Q \right)$ tại H.
Ta có $d\left( B;d \right)=BK\ge BH=d\left( B;\left( Q \right) \right)$ (không đổi), dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow K\equiv H$.
Khi đó d qua $A\left( -3;0;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AH}$ là một VTCP.
Đường thẳng BH qua $B\left( 1;-1;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ là một VTCP.
$\Rightarrow BH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( t+1;-2t-1;2t+3 \right)$.
Mà $H\in \left( Q \right)\Rightarrow \left( t+1 \right)-2\left( -2t-1 \right)+2\left( 2t+3 \right)+1=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{10}{9}\Rightarrow H\left( -\dfrac{1}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{7}{9} \right).$
Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{26}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{-2}{9} \right)=\dfrac{1}{9}\left( 26;11;-2 \right)$ là một VTCP.
Kết hợp với d qua $A\left( -3;0;1 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}.$
Đáp án A.