Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( -3;0;1 \right),\text{ B}\left( 1;-1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2\text{x}-5=0$. Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua A, song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng d nhỏ nhất, đường thẳng $\left( d \right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;b;c \right)$, khi đó $\dfrac{b}{c}$ bằng
A. $\dfrac{b}{c}=11$
B. $\dfrac{b}{c}=\dfrac{11}{2}$
C. $\dfrac{b}{c}=-\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{b}{c}=\dfrac{3}{2}$
A. $\dfrac{b}{c}=11$
B. $\dfrac{b}{c}=\dfrac{11}{2}$
C. $\dfrac{b}{c}=-\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{b}{c}=\dfrac{3}{2}$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ $A\left( -3;0;1 \right)$ và song song với $\left( P \right)$ nên nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;2 \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
$\Rightarrow \left( Q \right):1\left( x+3 \right)-2\left( y-0 \right)+2\left( z-1 \right)=0$ hay $\left( Q \right):x-2y+2\text{z}+1=0$.
Đường thẳng d đi qua A và song song $\left( P \right)$ nên $d\subset \left( Q \right)$.
Gọi H là hình chiếu của B lên $\left( Q \right)$ thì $d\left( B,d \right)\ge BH$ hay $d\left( B,d \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng BH khi $d=AH$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $B\left( 1;-1;3 \right)$ và vuông góc với $\left( Q \right)$ thì $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
$H=\Delta \cap \left( Q \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
& x-2y+2\text{z}+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( 1+t \right)-2\left( -1-2t \right)+2\left( 3+2t \right)+1=0$
$\Leftrightarrow 9t+10=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{10}{9}\Rightarrow H\left( -\dfrac{1}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{7}{9} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{26}{9};-\dfrac{11}{9};\dfrac{2}{9} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;-\dfrac{11}{26};\dfrac{1}{13} \right)$ hay $b=-\dfrac{11}{26},c=\dfrac{1}{13}\Rightarrow \dfrac{b}{c}=-\dfrac{11}{2}$.
$\Rightarrow \left( Q \right):1\left( x+3 \right)-2\left( y-0 \right)+2\left( z-1 \right)=0$ hay $\left( Q \right):x-2y+2\text{z}+1=0$.
Đường thẳng d đi qua A và song song $\left( P \right)$ nên $d\subset \left( Q \right)$.
Gọi H là hình chiếu của B lên $\left( Q \right)$ thì $d\left( B,d \right)\ge BH$ hay $d\left( B,d \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng BH khi $d=AH$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $B\left( 1;-1;3 \right)$ và vuông góc với $\left( Q \right)$ thì $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
$H=\Delta \cap \left( Q \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
& x-2y+2\text{z}+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( 1+t \right)-2\left( -1-2t \right)+2\left( 3+2t \right)+1=0$
$\Leftrightarrow 9t+10=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{10}{9}\Rightarrow H\left( -\dfrac{1}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{7}{9} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{26}{9};-\dfrac{11}{9};\dfrac{2}{9} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;-\dfrac{11}{26};\dfrac{1}{13} \right)$ hay $b=-\dfrac{11}{26},c=\dfrac{1}{13}\Rightarrow \dfrac{b}{c}=-\dfrac{11}{2}$.
Đáp án B.