Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;7;2 \right)$ và $B\left( -1;3;-1 \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=3$. Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $4\sqrt{3}$.
B. $3\sqrt{10}$.
C. $\sqrt{85}$.
D. $\sqrt{65}$.
Gọi ${B}'$ là điểm đối xứng với $B$ qua mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, suy ra ${B}'\left( -1;3;1 \right),BN={B}'N$ và $A,{B}'$ ở cùng phía so với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Lấy điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{{B}'K}=\overrightarrow{NM}$ ( ${B}'NMK$ là hình bình hành), khi đó ${B}'K=MN=3$, ${B}'N=MK$.
Do ${B}'K\text{//}MN$ nên ${B}'K$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua ${B}'$ và song song với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, suy ra $\left( \alpha \right)$ có phương trình $z=1$.
Do ${B}'K=3$ nên $K$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có tâm là ${B}'$, bán kính $R=3$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( 2;7;1 \right)$ và $HB'=5>R$, $E$ là giao điểm của tia đối của tia ${B}'H$ với $\left( C \right)$.
Ta có $\left| AM-BN \right|=\left| AM-{B}'N \right|=\left| AM-MK \right|\le AK$ $=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}\le \sqrt{A{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}$.
Mà $AH=1,HE=H{B}'+{B}'E=5+3=8$ suy ra $\left| AM-BN \right|\le \sqrt{{{1}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{65}$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& K\equiv E \\
& M\in AK,\left| AM-MK \right|=AK \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow M=AE\cap \left( Oxy \right)={{M}_{0}}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng $\sqrt{65}$.
A. $4\sqrt{3}$.
B. $3\sqrt{10}$.
C. $\sqrt{85}$.
D. $\sqrt{65}$.
Lấy điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{{B}'K}=\overrightarrow{NM}$ ( ${B}'NMK$ là hình bình hành), khi đó ${B}'K=MN=3$, ${B}'N=MK$.
Do ${B}'K\text{//}MN$ nên ${B}'K$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua ${B}'$ và song song với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, suy ra $\left( \alpha \right)$ có phương trình $z=1$.
Do ${B}'K=3$ nên $K$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có tâm là ${B}'$, bán kính $R=3$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( 2;7;1 \right)$ và $HB'=5>R$, $E$ là giao điểm của tia đối của tia ${B}'H$ với $\left( C \right)$.
Ta có $\left| AM-BN \right|=\left| AM-{B}'N \right|=\left| AM-MK \right|\le AK$ $=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}\le \sqrt{A{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}$.
Mà $AH=1,HE=H{B}'+{B}'E=5+3=8$ suy ra $\left| AM-BN \right|\le \sqrt{{{1}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{65}$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& K\equiv E \\
& M\in AK,\left| AM-MK \right|=AK \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow M=AE\cap \left( Oxy \right)={{M}_{0}}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng $\sqrt{65}$.
Đáp án D.