Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;4;1 \right),B\left( -1;1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-3y+2\text{z}-5=0$. Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $ax+by+cz-11=0$. Giá trị $a-b+c$ bằng
A. 4
B. $-4$
C. 1
D. $-6$
A. 4
B. $-4$
C. 1
D. $-6$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;2 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-3;2 \right)$.
Khi đó $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;8;12 \right)$
Do mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên $\left( \beta \right)$ nhận
$\overrightarrow{{{n}'}}=\dfrac{1}{4}\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;2;3 \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left( \beta \right):2\left( y-4 \right)+3\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2y+3\text{z}-11=0$.
Khi đó $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;8;12 \right)$
Do mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên $\left( \beta \right)$ nhận
$\overrightarrow{{{n}'}}=\dfrac{1}{4}\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;2;3 \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left( \beta \right):2\left( y-4 \right)+3\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2y+3\text{z}-11=0$.
Đáp án C.