Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;-2;6 \right),B\left( 3;3;-9 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-12=0$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $MA,MB$ luôn tạo với $\left( P \right)$ các góc bằng nhau. Biết $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tung độ của tâm đường tròn đó bằng
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $-\dfrac{2}{3}$.
C. $0$.
D. $-12$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $-\dfrac{2}{3}$.
C. $0$.
D. $-12$.
Gọi $M\left( a;b;c \right)\in \left( P \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Vì $\sin \widehat{AMH}=\sin \widehat{BMK}\Leftrightarrow \dfrac{AH}{AM}=\dfrac{BK}{BM}\Leftrightarrow \dfrac{d\left( A,\left( P \right) \right)}{AM}=\dfrac{d\left( B.\left( P \right) \right)}{BM}\Leftrightarrow \dfrac{6}{AM}=\dfrac{3}{BM}$.
$\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c-6 \right)}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+9 \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\dfrac{20}{3}a-\dfrac{28}{3}b+28c+\dfrac{352}{3}=0$.
Tập hợp điểm $M$ là mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{14}{3};-14 \right)$, bán kính $R=\dfrac{\sqrt{1301}}{3}$.
Vì $M\in \left( P \right)\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Có toạ độ tâm $H$ là hình chiếu vuông của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
$\Rightarrow IH\bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{IH}}={{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $IH$ :$\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{10}{3}+2t \\
& y=\dfrac{14}{3}+2t \\
& z=-14-t \\
\end{aligned} \right.$.
$H\in IH\Rightarrow H\left( \dfrac{10}{3}+2t;\dfrac{14}{3}+2t;-14-t \right)$
$H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( \dfrac{10}{3}+2t \right)+2\left( \dfrac{14}{3}+2t \right)-\left( -14-t \right)-12=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow {{y}_{H}}=\dfrac{2}{3}$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Vì $\sin \widehat{AMH}=\sin \widehat{BMK}\Leftrightarrow \dfrac{AH}{AM}=\dfrac{BK}{BM}\Leftrightarrow \dfrac{d\left( A,\left( P \right) \right)}{AM}=\dfrac{d\left( B.\left( P \right) \right)}{BM}\Leftrightarrow \dfrac{6}{AM}=\dfrac{3}{BM}$.
$\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c-6 \right)}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+9 \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\dfrac{20}{3}a-\dfrac{28}{3}b+28c+\dfrac{352}{3}=0$.
Tập hợp điểm $M$ là mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{14}{3};-14 \right)$, bán kính $R=\dfrac{\sqrt{1301}}{3}$.
Vì $M\in \left( P \right)\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Có toạ độ tâm $H$ là hình chiếu vuông của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
$\Rightarrow IH\bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{IH}}={{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $IH$ :$\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{10}{3}+2t \\
& y=\dfrac{14}{3}+2t \\
& z=-14-t \\
\end{aligned} \right.$.
$H\in IH\Rightarrow H\left( \dfrac{10}{3}+2t;\dfrac{14}{3}+2t;-14-t \right)$
$H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( \dfrac{10}{3}+2t \right)+2\left( \dfrac{14}{3}+2t \right)-\left( -14-t \right)-12=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow {{y}_{H}}=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.