Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;-2;4 \right),B\left( -3;3;-1 \right)$ và mặt phẳng
$(P):2x-y+2z-8=0.$ Xét M là điểm thay đổi thuộc P, giá trị nhỏ nhất của $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}$ bằng
A. 135.
B. 105.
C. 108.
D. 145.
$(P):2x-y+2z-8=0.$ Xét M là điểm thay đổi thuộc P, giá trị nhỏ nhất của $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}$ bằng
A. 135.
B. 105.
C. 108.
D. 145.
Hướng Dẫn. Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. Ta tìm được $I\left( -1;1;1 \right)$. Ta có
$2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB} \right)$ $=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}$ (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ ). Tính được $I{{A}^{2}}=27;I{{B}^{2}}=12.$ Suy ra $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI\bot P\Leftrightarrow MI=d\text{ (I}\text{, P) =3}$
Do đó giá trị nhỏ nhất của $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}=135.$
$2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB} \right)$ $=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}$ (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ ). Tính được $I{{A}^{2}}=27;I{{B}^{2}}=12.$ Suy ra $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI\bot P\Leftrightarrow MI=d\text{ (I}\text{, P) =3}$
Do đó giá trị nhỏ nhất của $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}=135.$
Đáp án A.