. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;-2;4...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (2; - 2; 4), B (- 3; 3; - 1)

và mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3

. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị nhỏ nhất của

2 M A^{2} + 3 M B^{2}

bằng
A. 103
B. 108
C. 105
D. 109

Mặt cầu

(S)

có tâm

J (1; 3; 3), R = \sqrt{3} .

Gọi I là điểm thỏa mãn

2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0} \Rightarrow I (- 1; 1; 1)

và

\vec{I J} = (2; 2; 2) \Rightarrow I J = 2 \sqrt{3} .

Khi đó

P = 2 M A^{2} + 3 M B^{2} = 2 {(\vec{M A})}^{2} + 3 {(\vec{M B})}^{2} = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 3 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}

Suy ra

P = 5 M I^{2} + 2 I A^{2} + 3 I B^{2} + 2 \vec{M I} (\underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{2 \vec{I A} + 3 \vec{I B}}})

Do đó

P_{min} \Leftrightarrow M I_{min} .

Ta có hình minh họa sau:

Khi đó

M I_{min} \Leftrightarrow M I = I H \Rightarrow I \equiv H

với H là trung điểm IJ.
Khi đó ta có

I M = \frac{I J}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} .

Đồng thời

{\begin{aligned} I A = 3 \sqrt{3} \\ I B = 2 \sqrt{3} \end{aligned}

Do đó

P_{min} = 5 M I^{2} + 2 I A^{2} + 3 I B^{2} = 5.3 + 2.27 + 3.12 = 105

Đáp án C.