Google
Câu hỏi: . Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;-2;4 \right),B\left( -3;3;-1 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=3$. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị nhỏ nhất của $2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}$ bằng
A. 103
B. 108
C. 105
D. 109
A. 103
B. 108
C. 105
D. 109
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $J\left( 1;3;3 \right),R=\sqrt{3}.$
Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( -1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{IJ}=\left( 2;2;2 \right)\Rightarrow IJ=2\sqrt{3}.$
Khi đó $P=2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MB} \right)}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
Suy ra $P=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \underbrace{2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}}_{\overrightarrow{0}} \right)$
Do đó ${{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}.$ Ta có hình minh họa sau:
Khi đó $M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow MI=IH\Rightarrow I\equiv H$ với H là trung điểm IJ.
Khi đó ta có $IM=\dfrac{IJ}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ Đồng thời $\left\{ \begin{aligned}
& IA=3\sqrt{3} \\
& IB=2\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${{P}_{\min }}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}=5.3+2.27+3.12=105$
Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( -1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{IJ}=\left( 2;2;2 \right)\Rightarrow IJ=2\sqrt{3}.$
Khi đó $P=2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MB} \right)}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
Suy ra $P=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \underbrace{2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}}_{\overrightarrow{0}} \right)$
Do đó ${{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}.$ Ta có hình minh họa sau:
Khi đó $M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow MI=IH\Rightarrow I\equiv H$ với H là trung điểm IJ.
Khi đó ta có $IM=\dfrac{IJ}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ Đồng thời $\left\{ \begin{aligned}
& IA=3\sqrt{3} \\
& IB=2\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${{P}_{\min }}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}=5.3+2.27+3.12=105$
Đáp án C.