Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( -2;2;-4 \right), B\left( 4;5;-3 \right)$. $M\left( a;b;c \right)$ là điểm trên mp $\left( Oxy \right)$ sao cho $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a+b+c$.
A. 3
B. 6
C. 1
D. $-1$
A. 3
B. 6
C. 1
D. $-1$
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\to I\left( 2;4;-3 \right)$
Ta có $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=3M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}$
$=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}$ nên $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên $\left( Oxy \right)$.
Vậy $M\left( 2;4;0 \right)\Rightarrow a+b+c=2+4+0=6$.
Ta có $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=3M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}$
$=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}$ nên $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên $\left( Oxy \right)$.
Vậy $M\left( 2;4;0 \right)\Rightarrow a+b+c=2+4+0=6$.
Đáp án B.