Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( -2;2;-2 \right)$ và $B\left( 3;-3;3 \right).$ Lấy M là điểm thay đổi luôn thỏa mãn $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}.$ Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn OM bằng
A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
B. $5\sqrt{3}.$
C. $6\sqrt{3}.$
D. $12\sqrt{3}$
A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
B. $5\sqrt{3}.$
C. $6\sqrt{3}.$
D. $12\sqrt{3}$
HD: Ta có: $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}-4M{{B}^{2}}=0$
Gọi I là điểm thỏa mãn $9\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( -6;6;-6 \right)$
Khi đó $9M{{A}^{2}}-4M{{B}^{2}}=0\Leftrightarrow 9{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 5M{{I}^{2}}=-9I{{A}^{2}}+4I{{B}^{2}}=540\Rightarrow MI=6\sqrt{3}$
Do đó tập hợp điểm biễu diễn M là mặt cầu tâm $I(-6;6;-6)$ bán kính $R=6\sqrt{3}$
Khi đó $O{{M}_{\max }}=OI+R=6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$
Gọi I là điểm thỏa mãn $9\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( -6;6;-6 \right)$
Khi đó $9M{{A}^{2}}-4M{{B}^{2}}=0\Leftrightarrow 9{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 5M{{I}^{2}}=-9I{{A}^{2}}+4I{{B}^{2}}=540\Rightarrow MI=6\sqrt{3}$
Do đó tập hợp điểm biễu diễn M là mặt cầu tâm $I(-6;6;-6)$ bán kính $R=6\sqrt{3}$
Khi đó $O{{M}_{\max }}=OI+R=6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$
Đáp án D.