T

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2; 1; 3 \right)...

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2; 1; 3 \right), B\left( 6; 5; 5 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ ngoại tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có $B$ là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi $S$ là đỉnh của khối nón $\left( N \right)$. Khi thể tích của khối nón $\left( N \right)$ nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh $S$ và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Tính $T=b+c+d$.
A. $T=24$.
B. $T=12$.
C. $T=36$.
D. $T=18$.
image13.png
Gọi chiều cao khối chóp $SB=h \left( h>0 \right)$ và bán kính đường tròn đáy $BC=R$.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h \left( 1 \right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left( 4; 4; 2 \right)\Rightarrow AB=6$.
Xét mặt cầu có đường kính $AB$ : ta có bán kính là $r=\dfrac{AB}{2}=3$ và tâm $I\left( 4; 3; 4 \right)$.
Vì $\Delta SHI$ đồng dạng với $\Delta SBC$ $\Leftrightarrow \dfrac{SI}{SC}=\dfrac{IH}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{h-3}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}}=\dfrac{3}{R}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( h-3 \right)}^{2}}}{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\dfrac{9}{{{R}^{2}}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}\left[ {{\left( h-3 \right)}^{2}}-9 \right]=9{{h}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{9{{h}^{2}}}{{{h}^{2}}-6h} \left( 2 \right)$.
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{9{{h}^{2}}}{{{h}^{2}}-6h}.h=3\pi .\dfrac{{{h}^{2}}}{h-6} $ với $h>6$.
Xét ${V}'=3\pi .\dfrac{2h\left( h-6 \right)-{{h}^{2}}}{{{\left( h-6 \right)}^{2}}}=3\pi .\dfrac{{{h}^{2}}-12h}{{{\left( h-6 \right)}^{2}}}$. Ta được bảng biến thiên như sau:
image14.png
Vậy ${{V}_{\min }}$ khi $SB=h =12$ $\Rightarrow A$ là trung điểm của $SB$ $\Rightarrow S\left( -2; -3; 1 \right)$.
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $S$, vuông góc với $AB$ nên có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left( 4; 4; 2 \right)$ hay $\overrightarrow{n}=\left( 2; 2; 1 \right)$ nên ta có $\left( P \right): 2\left( x+2 \right)+2\left( y+3 \right)+z-1=0 \Leftrightarrow \left( P \right):2x+2y+z+9=0$
Đáp án B.
 

Quảng cáo

Back
Top