Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2; 1; 3 \right)...

Gọi chiều cao khối chóp $SB=h(h>0)$ và bán kính đường tròn đáy $BC=R$.
Ta có: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi R^2.h\left(1\right)$ và $\overrightarrow{AB}=(4;4;2)\Rightarrow AB=6$.
Xét mặt cầu có đường kính $AB$ : ta có bán kính là $r={\displaystyle \frac{AB}{2}}=3$ và tâm $I(4;3;4)$.
Vì $\mathrm{\Delta }SHI$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta }SBC$ $\iff {\displaystyle \frac{SI}{SC}}={\displaystyle \frac{IH}{BC}}\iff {\displaystyle \frac{h-3}{\sqrt{h^2+R^2}}}={\displaystyle \frac{3}{R}}$
$\iff {\displaystyle \frac{{(h-3)}^2}{h^2+R^2}}={\displaystyle \frac{9}{R^2}}\iff R^2[{(h-3)}^2-9]=9h^2\iff R^2={\displaystyle \frac{9h^2}{h^2-6h}}\left(2\right)$.
Thay $\left(2\right)$ vào $\left(1\right)$ ta có: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .{\displaystyle \frac{9h^2}{h^2-6h}}.h=3\pi .{\displaystyle \frac{h^2}{h-6}}$ với $h>6$.
Xét $V^{\prime }=3\pi .{\displaystyle \frac{2h(h-6)-h^2}{{(h-6)}^2}}=3\pi .{\displaystyle \frac{h^2-12h}{{(h-6)}^2}}$. Ta được bảng biến thiên như sau:
Vậy $V_{min}$ khi $SB=h=12$ $\Rightarrow A$ là trung điểm của $SB$ $\Rightarrow S(-2;-3;1)$.
Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $S$, vuông góc với $AB$ nên có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=(4;4;2)$ hay $\overrightarrow{n}=(2;2;1)$ nên ta có $\left(P\right):2(x+2)+2(y+3)+z-1=0\iff \left(P\right):2x+2y+z+9=0$