Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 2;1;3 \right)$ và $B\left( 6;5;5 \right).$ Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $A,$ đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB.$ Khi $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+d=0.$ Giá trị của $b+c+d$ bằng
A. $-21.$
B. $-12.$
C. $-18.$
D. $-15.$
A. $-21.$
B. $-12.$
C. $-18.$
D. $-15.$
Cách giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với $AB.$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu đường kính $AB.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón $\left( N \right).$
Đặt $R,r$ lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có $AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{36}=6\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}AB=3.$
Gọi $h$ là chiều cao hình trụ $\left( h>3 \right)\Rightarrow IH=h-3$
$\Rightarrow r=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( h-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{-{{h}^{2}}+6h}.$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón $\left( N \right)$ là: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .\left( -{{h}^{2}}+6h \right).h=\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( 6-h \right).$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ${{h}^{2}}\left( 6-h \right)=\dfrac{1}{2}h.h.\left( 12-2h \right)\le \dfrac{1}{2}.{{\left( \dfrac{h+h+12-2h}{3} \right)}^{3}}=32.$
$\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \dfrac{1}{3}\pi .32=\dfrac{32\pi }{3}.$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow h=12-2h=h=4\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$
$\Rightarrow \left( {{x}_{H}}-2;{{y}_{H}}-1;{{z}_{H}}-3 \right)=\dfrac{2}{3}\left( 4;4;2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}-2=\dfrac{8}{3} \\
& {{y}_{H}}-1=\dfrac{8}{3} \\
& {{z}_{H}}-3=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=\dfrac{14}{3} \\
& {{y}_{H}}=\dfrac{11}{3} \\
& {{z}_{H}}=\dfrac{13}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3} \right)$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua $H\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}$ $=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)$
Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:
$2\left( x-\dfrac{14}{3} \right)+2\left( y-\dfrac{11}{3} \right)+1\left( z-\dfrac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0.$
Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với $AB.$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu đường kính $AB.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón $\left( N \right).$
Đặt $R,r$ lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có $AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{36}=6\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}AB=3.$
Gọi $h$ là chiều cao hình trụ $\left( h>3 \right)\Rightarrow IH=h-3$
$\Rightarrow r=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( h-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{-{{h}^{2}}+6h}.$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón $\left( N \right)$ là: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .\left( -{{h}^{2}}+6h \right).h=\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( 6-h \right).$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ${{h}^{2}}\left( 6-h \right)=\dfrac{1}{2}h.h.\left( 12-2h \right)\le \dfrac{1}{2}.{{\left( \dfrac{h+h+12-2h}{3} \right)}^{3}}=32.$
$\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \dfrac{1}{3}\pi .32=\dfrac{32\pi }{3}.$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow h=12-2h=h=4\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$
$\Rightarrow \left( {{x}_{H}}-2;{{y}_{H}}-1;{{z}_{H}}-3 \right)=\dfrac{2}{3}\left( 4;4;2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}-2=\dfrac{8}{3} \\
& {{y}_{H}}-1=\dfrac{8}{3} \\
& {{z}_{H}}-3=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=\dfrac{14}{3} \\
& {{y}_{H}}=\dfrac{11}{3} \\
& {{z}_{H}}=\dfrac{13}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3} \right)$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua $H\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}$ $=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)$
Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:
$2\left( x-\dfrac{14}{3} \right)+2\left( y-\dfrac{11}{3} \right)+1\left( z-\dfrac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0.$
Đáp án C.