Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -2;1;1 \right)$ và $B\left( 2;1;1 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $A$ đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ cách điểm $E\left( 1;1;1 \right)$ một khoảng là bao nhiêu?
A. $d=\dfrac{1}{2}$.
B. $d=2$.
C. $d=\dfrac{1}{3}$.
D. $d=3$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;0;0 \right)$ nên $\left( P \right)$ có vtpt là $\left( 1;0;0 \right)$
$AB=4\Rightarrow R=2$. Đặt $x$ như hình vẽ
Khối nón $\left( N \right)$ có $h=x+2$ và ${{r}^{2}}=H{{C}^{2}}=4-{{x}^{2}}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( x+2 \right)$ với $0\le x\le 2$
Khảo sát hàm số $y=\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( x+2 \right)$ với $0\le x\le 2$
Đạt max khi $x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow IH=\dfrac{2}{3}\Rightarrow 3\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{IB}$ với $I\left( 0;1;1 \right)$
$\Rightarrow H\left( \dfrac{1}{2};1;1 \right)$ $\Rightarrow 1.\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+0\left( y-1 \right)+0\left( z-1 \right)=0$
$\Rightarrow x-\dfrac{1}{2}=0$. Khoảng cách từ điểm $E\left( 1;1;1 \right)$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d\left( E,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-\dfrac{1}{2} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}$.
A. $d=\dfrac{1}{2}$.
B. $d=2$.
C. $d=\dfrac{1}{3}$.
D. $d=3$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;0;0 \right)$ nên $\left( P \right)$ có vtpt là $\left( 1;0;0 \right)$
$AB=4\Rightarrow R=2$. Đặt $x$ như hình vẽ
Khối nón $\left( N \right)$ có $h=x+2$ và ${{r}^{2}}=H{{C}^{2}}=4-{{x}^{2}}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( x+2 \right)$ với $0\le x\le 2$
Khảo sát hàm số $y=\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( x+2 \right)$ với $0\le x\le 2$
Đạt max khi $x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow IH=\dfrac{2}{3}\Rightarrow 3\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{IB}$ với $I\left( 0;1;1 \right)$
$\Rightarrow H\left( \dfrac{1}{2};1;1 \right)$ $\Rightarrow 1.\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+0\left( y-1 \right)+0\left( z-1 \right)=0$
$\Rightarrow x-\dfrac{1}{2}=0$. Khoảng cách từ điểm $E\left( 1;1;1 \right)$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d\left( E,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-\dfrac{1}{2} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án A.