Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (- 2; 1; 1)$ và...

The Professor · 31/12/21

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (- 2; 1; 1)

và

B (2; 1; 1)

. Xét khối nón

(N)

có đỉnh

A

đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính

A B

. Khi

(N)

có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng

(P)

chứa đường tròn đáy của

(N)

cách điểm

E (1; 1; 1)

một khoảng là bao nhiêu?
A.

d = \frac{1}{2}

.
B.

d = 2

.
C.

d = \frac{1}{3}

.
D.

d = 3

Ta có:

\vec{A B} = (4; 0; 0)

nên

(P)

có vtpt là

(1; 0; 0)

A B = 4 \Rightarrow R = 2

. Đặt

x

như hình vẽ
Khối nón

(N)

có

h = x + 2

và

r^{2} = H C^{2} = 4 - x^{2}

\Rightarrow V = \frac{1}{3} π r^{2} . h = \frac{1}{3} π (4 - x^{2}) (x + 2)

với

0 \leq x \leq 2

Khảo sát hàm số

y = (4 - x^{2}) (x + 2)

với

0 \leq x \leq 2

Đạt max khi

x = \frac{2}{3} \Rightarrow I H = \frac{2}{3} \Rightarrow 3 \vec{I H} = \vec{I B}

với

I (0; 1; 1)

\Rightarrow H (\frac{1}{2}; 1; 1)

\Rightarrow 1. (x - \frac{1}{2}) + 0 (y - 1) + 0 (z - 1) = 0

\Rightarrow x - \frac{1}{2} = 0

. Khoảng cách từ điểm

E (1; 1; 1)

tới mặt phẳng

(P)

là

d (E, (P)) = \frac{| 1 - \frac{1}{2} |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2}

.

Đáp án A.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2;1;1) và...