Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;0;0 \right)$ và $M\left( 1;1;1 \right)$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm $A$ và $M$, cắt các trục $Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ sao cho $b>0,c>0$. Diện tích tam giác $ABC$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $3\sqrt{3}.$
B. $4\sqrt{3}.$
C. $2\sqrt{6}.$
D. $4\sqrt{6}.$
A. $3\sqrt{3}.$
B. $4\sqrt{3}.$
C. $2\sqrt{6}.$
D. $4\sqrt{6}.$
Ta có $\left( P \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Mà $M\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow bc=2\left( b+c \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;b;0 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -2;0;c \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( bc;2c;2b \right)$
$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}.$
Lại có $2\left( b+c \right)=bc\le \dfrac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow b+c\ge 8\Rightarrow bc\ge 16$
$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+2{{\left( b+c \right)}^{2}}}\ge 4\sqrt{6}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c=4.$
Mà $M\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow bc=2\left( b+c \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;b;0 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -2;0;c \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( bc;2c;2b \right)$
$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}.$
Lại có $2\left( b+c \right)=bc\le \dfrac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow b+c\ge 8\Rightarrow bc\ge 16$
$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+2{{\left( b+c \right)}^{2}}}\ge 4\sqrt{6}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c=4.$
Đáp án D.