Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;-5;2 \right),B\left( 3;3;-2 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+3}{1}=\dfrac{z+4}{1}$ ; hai điểm $C,D$ thay đổi trên $d:CD=6\sqrt{3}$. Biết rằng khi $C\left( a;b;c \right) (b<2)$ thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a+b+c$.
A. $a+b+c=2$.
B. $a+b+c=-1$.
C. $a+b+c=-4$.
D. $a+b+c=-7$.
Vì $AM,BN,CD$ không đổi nên tổng diện tích toàn phần của tứ diện nhỏ nhất khi tổng diện tích hai tam giác $ABC,ABD$ nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi $C\left( 3+t;-3+t;-4+t \right),D\left( 3+{t}';-3+{t}';-4+{t}' \right)$, từ $CD=6\sqrt{3}$ suy ra $\left| t-{t}' \right|=6$.
TH1: ${t}'=t+6\Rightarrow D\left( 9+t;3+t;2+t \right)$. Do vậy $\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB} \right]=\left( 40-12t;-8+8t;24+4t \right),\left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -32-12t;40+8t;48+4t \right)$
Suy ra ${{S}_{ABC}}+{{S}_{ABD}}=2\sqrt{14}\left( \sqrt{{{\left( 2-t \right)}^{2}}+6}+\sqrt{{{\left( t+4 \right)}^{2}}+6} \right)\ge 2\sqrt{14}\sqrt{36+24}=4\sqrt{210}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2-t=t+4\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow C\left( 2;-4;-5 \right),D\left( 8;2;1 \right)$ (thỏa mãn). Vậy $a+b+c=-7$.
TH2: $t={t}'+6$ trường hợp này đổi vai trò của $C,D$ cho nhau trong TH1 nên loại.
Cách 2: Tổng diện tích toàn phần của hai tam giác nhỏ nhất khi $CH+DK$ nhỏ nhất.
$\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A,B$ và song song với $d$ :
$\begin{aligned}
& CH+DK=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}+\sqrt{D{{J}^{2}}+J{{K}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( IH+JK \right)}^{2}}+4C{{I}^{2}}} \\
& =\sqrt{{{\left( EI\sin \alpha +EJ\sin \alpha \right)}^{2}}+4C{{I}^{2}}}=\sqrt{I{{J}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha +4C{{I}^{2}}} \\
\end{aligned}$
Vì $CI=DJ=d\left( AB,d \right),IJ=CD,\alpha =\widehat{\left( AB,d \right)}$ không đổi nên $CH+DK$ nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra khi $CI\cdot JK=IH\cdot DJ\Leftrightarrow JK=IH$, khi đó $E,F$ là trung điểm của $IJ,CD$. $EF$ là đoạn vuông góc chung của $AB,CD$.
Phương trình $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+s \\
& y=-5+2s \\
& z=2-s \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( -1+s;-5+2s;2-s \right) $ và $ F\left( 3+t;-3+t;-4+t \right)$.
Từ đó suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& t-3s=-7 \\
& 3t-2s=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& s=3 \\
\end{aligned} \right. $ do vậy nếu$ C\left( 3+{t}';-3+{t}';-4+{t}' \right) $ và $ FC=3\sqrt{3} $ thì $ \left[ \begin{aligned}
& {t}'=5\Rightarrow C\left( 8;2;1 \right)(l) \\
& {t}'=-1\Rightarrow C\left( 2;-4;-5 \right)(tm) \\
\end{aligned} \right.$
A. $a+b+c=2$.
B. $a+b+c=-1$.
C. $a+b+c=-4$.
D. $a+b+c=-7$.
Cách 1: Gọi $C\left( 3+t;-3+t;-4+t \right),D\left( 3+{t}';-3+{t}';-4+{t}' \right)$, từ $CD=6\sqrt{3}$ suy ra $\left| t-{t}' \right|=6$.
TH1: ${t}'=t+6\Rightarrow D\left( 9+t;3+t;2+t \right)$. Do vậy $\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB} \right]=\left( 40-12t;-8+8t;24+4t \right),\left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -32-12t;40+8t;48+4t \right)$
Suy ra ${{S}_{ABC}}+{{S}_{ABD}}=2\sqrt{14}\left( \sqrt{{{\left( 2-t \right)}^{2}}+6}+\sqrt{{{\left( t+4 \right)}^{2}}+6} \right)\ge 2\sqrt{14}\sqrt{36+24}=4\sqrt{210}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2-t=t+4\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow C\left( 2;-4;-5 \right),D\left( 8;2;1 \right)$ (thỏa mãn). Vậy $a+b+c=-7$.
TH2: $t={t}'+6$ trường hợp này đổi vai trò của $C,D$ cho nhau trong TH1 nên loại.
Cách 2: Tổng diện tích toàn phần của hai tam giác nhỏ nhất khi $CH+DK$ nhỏ nhất.
$\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A,B$ và song song với $d$ :
& CH+DK=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}+\sqrt{D{{J}^{2}}+J{{K}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( IH+JK \right)}^{2}}+4C{{I}^{2}}} \\
& =\sqrt{{{\left( EI\sin \alpha +EJ\sin \alpha \right)}^{2}}+4C{{I}^{2}}}=\sqrt{I{{J}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha +4C{{I}^{2}}} \\
\end{aligned}$
Vì $CI=DJ=d\left( AB,d \right),IJ=CD,\alpha =\widehat{\left( AB,d \right)}$ không đổi nên $CH+DK$ nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra khi $CI\cdot JK=IH\cdot DJ\Leftrightarrow JK=IH$, khi đó $E,F$ là trung điểm của $IJ,CD$. $EF$ là đoạn vuông góc chung của $AB,CD$.
Phương trình $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+s \\
& y=-5+2s \\
& z=2-s \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( -1+s;-5+2s;2-s \right) $ và $ F\left( 3+t;-3+t;-4+t \right)$.
Từ đó suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& t-3s=-7 \\
& 3t-2s=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& s=3 \\
\end{aligned} \right. $ do vậy nếu$ C\left( 3+{t}';-3+{t}';-4+{t}' \right) $ và $ FC=3\sqrt{3} $ thì $ \left[ \begin{aligned}
& {t}'=5\Rightarrow C\left( 8;2;1 \right)(l) \\
& {t}'=-1\Rightarrow C\left( 2;-4;-5 \right)(tm) \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án D.