Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;3;0 \right), B\left( 4;3;3 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+5}{5}=\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{z}{1}$. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho $\widehat{AMB}={{60}^{o}}$, giá trị biểu thức $T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ bằng
A. 207
B. 30
C. 12
D. 36
A. 207
B. 30
C. 12
D. 36
Do $M\in d\Rightarrow M\left( 5t-5;4t-3;t \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( 5t-6;4t-6;t \right) \\
& \overrightarrow{BM}=\left( 5t-9;4t-6;t-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=42{{t}^{2}}-108t+72 \\
& M{{B}^{2}}=42{{t}^{2}}-144t+126 \\
& M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=84{{t}^{2}}-252t+198 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $A{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 18=84{{t}^{2}}-252t+198-\sqrt{\left( 42{{t}^{2}}-108t+72 \right)\left( 42{{t}^{2}}-144t+126 \right)} \\
& \Leftrightarrow 84{{t}^{2}}-252t+180-\sqrt{\left( 42{{t}^{2}}-108t+72 \right)\left( 42{{t}^{2}}-144t+126 \right)}=0\xrightarrow{Casio}t=2 \\
\end{aligned}$
Thay t = 2 vào (*), ta được T = 30.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( 5t-6;4t-6;t \right) \\
& \overrightarrow{BM}=\left( 5t-9;4t-6;t-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=42{{t}^{2}}-108t+72 \\
& M{{B}^{2}}=42{{t}^{2}}-144t+126 \\
& M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=84{{t}^{2}}-252t+198 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $A{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 18=84{{t}^{2}}-252t+198-\sqrt{\left( 42{{t}^{2}}-108t+72 \right)\left( 42{{t}^{2}}-144t+126 \right)} \\
& \Leftrightarrow 84{{t}^{2}}-252t+180-\sqrt{\left( 42{{t}^{2}}-108t+72 \right)\left( 42{{t}^{2}}-144t+126 \right)}=0\xrightarrow{Casio}t=2 \\
\end{aligned}$
Thay t = 2 vào (*), ta được T = 30.
Đáp án B.