Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;-2;4 \right)$, $B\left( -2;2;-6 \right)$. Xét hai điểm M, N thay đổi trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=2$. Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $5\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{29}$.
C. $\sqrt{71}$.
D. $\sqrt{53}$
A. $5\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{29}$.
C. $\sqrt{71}$.
D. $\sqrt{53}$
Đề thấy hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, khi đó ta có $H\left( 1;-2;0 \right)$
Lẩy điểm ${{A}_{1}}$ đối xứng với A qua mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow {{A}_{1}}=\left( 1;-2;-4 \right)$. Khi đó ${{A}_{1}}M=AM$.
Lấy điểm ${{A}_{2}}$ sao cho $\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\overrightarrow{MN}$. Tứ giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}NM$ là hình bình hành nên ${{A}_{1}}M={{A}_{2}}N$.
Khi đó ta dễ thấy hai điểm ${{A}_{2}}$ và B nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Do $MN=2$ nên điểm N thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm M bán kính $R=MN=2$ nằm trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên điểm ${{A}_{2}}$ thuộc vào đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm ${{A}_{1}}$ và bán kính ${R}'=R=2$ và nằm trong mặt phẳng $z=-4$.
Ta có: $\left| AM-BN \right|=\left| {{A}_{1}}M-BN \right|=\left| {{A}_{2}}N-BN \right|\le {{A}_{2}}B$ s.
Dấu bằng xảy ra khi $N={{A}_{2}}B\cap \left( Oxy \right)$.
Để $\left| AM-BN \right|$ đạt giá trị lớn nhất thì ${{A}_{2}}B$ phải đạt giá trị lớn nhất.
Gọi K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng $z=-4$, khi đó ta có: $K\left( -2;2;-4 \right)$ và $BK=2$, ${{A}_{1}}K=5$.
Tam giác $BK{{A}_{2}}$ vuông tại K nên ta có: ${{A}_{2}}B=\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{A}_{2}}^{2}}=\sqrt{4+K{{A}_{2}}^{2}}$.
Để ${{A}_{2}}B$ phải đạt giá trị lớn nhất thì $K{{A}_{2}}$ phải lớn nhất.
Mà $K{{A}_{2}}\le {{A}_{1}}K+{R}'=5+2=7\Rightarrow {{A}_{2}}B\le \sqrt{4+{{7}^{2}}}=\sqrt{53}$
Suy ra giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng $\sqrt{53}$, dấu bằng xảy ra khi $N={{A}_{2}}B\cap \left( Oxy \right)$.
Gọi H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, khi đó ta có $H\left( 1;-2;0 \right)$
Lấy điểm ${{A}_{2}}$ sao cho $\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\overrightarrow{MN}$. Tứ giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}NM$ là hình bình hành nên ${{A}_{1}}M={{A}_{2}}N$.
Khi đó ta dễ thấy hai điểm ${{A}_{2}}$ và B nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Do $MN=2$ nên điểm N thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm M bán kính $R=MN=2$ nằm trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên điểm ${{A}_{2}}$ thuộc vào đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm ${{A}_{1}}$ và bán kính ${R}'=R=2$ và nằm trong mặt phẳng $z=-4$.
Ta có: $\left| AM-BN \right|=\left| {{A}_{1}}M-BN \right|=\left| {{A}_{2}}N-BN \right|\le {{A}_{2}}B$ s.
Dấu bằng xảy ra khi $N={{A}_{2}}B\cap \left( Oxy \right)$.
Để $\left| AM-BN \right|$ đạt giá trị lớn nhất thì ${{A}_{2}}B$ phải đạt giá trị lớn nhất.
Gọi K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng $z=-4$, khi đó ta có: $K\left( -2;2;-4 \right)$ và $BK=2$, ${{A}_{1}}K=5$.
Tam giác $BK{{A}_{2}}$ vuông tại K nên ta có: ${{A}_{2}}B=\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{A}_{2}}^{2}}=\sqrt{4+K{{A}_{2}}^{2}}$.
Để ${{A}_{2}}B$ phải đạt giá trị lớn nhất thì $K{{A}_{2}}$ phải lớn nhất.
Mà $K{{A}_{2}}\le {{A}_{1}}K+{R}'=5+2=7\Rightarrow {{A}_{2}}B\le \sqrt{4+{{7}^{2}}}=\sqrt{53}$
Suy ra giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng $\sqrt{53}$, dấu bằng xảy ra khi $N={{A}_{2}}B\cap \left( Oxy \right)$.
Đáp án D.