Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;-3...

Cách giải:
$M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông $\Rightarrow M$ thuộc giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right).~$
Tâm mặt cầu $\left( S \right)$ là trung điểm của AB và có tọa độ: $I\left( -\dfrac{1}{2};0;-1 \right)$
Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$
$d\left( I;(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| 2.\dfrac{-1}{2}+2.0-(-1)+9 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3<R\Rightarrow $ Giao tuyến của $\left( S \right)$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là một đường tròn.
*) Xác định tâm $J$ của đường tròn giao tuyến:
Gọi d là đường thẳng qua $I$ vuông góc $\left( \alpha \right),d$ có PTTS là : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-\dfrac{1}{2}+2t \\
y=2t \\
z=-1-t \\
\end{array} \right.$
Tâm $J$ của đường tròn giao tuyến chính là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$.
Giả sử $J\left( -\dfrac{1}{2}+2t;2t;-1-t \right)$, mà $J\in \left( \alpha \right)$
$\Rightarrow 2\left( -\dfrac{1}{2}+2t \right)+2.2t-(-1-t)+9=0\Leftrightarrow 9t+9=0\Leftrightarrow t=-1$
$\Rightarrow J\left( -\dfrac{5}{2};-2;0 \right)$
Ta thấy: $B(-2;-2;1)\in (\alpha ):2x+2y-z+9=0$
Do đó, để MB đạt giá trị lớn nhất và bằng đường kính của đường tròn giao tuyến thì M là điểm đối xứng của B qua
$J$. Khi đó, đường thẳng $MB$ trùng với đường thẳng $BJ,$ (với $\overrightarrow{BJ}=\left( -\dfrac{1}{2};0;-1 \right),\text{ c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ PT: }\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2+t \\
y=-2 \\
z=1+2t \\
\end{array} \right.$