Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;3 \right),B\left( 3;4;5 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-14=0$. Gọi $\!\!\Delta\!\!$ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên $\!\!\Delta\!\!$. Biết rằng khi $AH=BK$ thì trung điểm của $HK$ luôn thuộc một đường thẳng $d$ cố định, phương trình của đường thẳng $d$ là
A. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4+t \\
y=5-2t \\
z=1 \\
\end{array} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4-t \\
y=5+2t \\
z=t \\
\end{array} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4+t \\
y=5-2t \\
z=t \\
\end{array}\!\!~\!\! \right. $.
D. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4-t \\
y=5+2t\!\!~\!\! \\
z=1 \\
\end{array} \right.$.
Có $\Delta BKI=\Delta AHI \left( c-g-c \right)\Rightarrow IA=IB\Rightarrow I$ luôn nằm trong mặt phẳng trung trực $\left( Q \right)$ của đoạn $AB$. Do đó $I\in d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$
$\left( Q \right)$ đi qua trung điểm $AB$, nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;2 \right)$ làm véc-tơ pháp tuyến $\left( Q \right): x+y+z-9=0$.
Giao tuyến $d: \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( Q \right): x+y+z-9=0 \\
\left( P \right):x+2y+3z-14=0. \\
\end{array} \right.$
Lấy $\left( P \right)-\left( Q \right): y+2z-5=0$ chọn $z=0\Rightarrow y=5\Rightarrow x=4\Rightarrow M\left( 4;5;0 \right)\in d$.
$\left( Q \right): x+y+z-9=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;1;1 \right)$.
$\left( P \right):x+2y+3z-14=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;3 \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 4;5;0 \right)$, nhận $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 1;-2;1 \right)$ có phương trình tham số là: $d: \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4+t \\
y=5-2t \\
z=t. \\
\end{array} \right.$
A. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4+t \\
y=5-2t \\
z=1 \\
\end{array} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4-t \\
y=5+2t \\
z=t \\
\end{array} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4+t \\
y=5-2t \\
z=t \\
\end{array}\!\!~\!\! \right. $.
D. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4-t \\
y=5+2t\!\!~\!\! \\
z=1 \\
\end{array} \right.$.
Có $\Delta BKI=\Delta AHI \left( c-g-c \right)\Rightarrow IA=IB\Rightarrow I$ luôn nằm trong mặt phẳng trung trực $\left( Q \right)$ của đoạn $AB$. Do đó $I\in d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$
$\left( Q \right)$ đi qua trung điểm $AB$, nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;2 \right)$ làm véc-tơ pháp tuyến $\left( Q \right): x+y+z-9=0$.
Giao tuyến $d: \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( Q \right): x+y+z-9=0 \\
\left( P \right):x+2y+3z-14=0. \\
\end{array} \right.$
Lấy $\left( P \right)-\left( Q \right): y+2z-5=0$ chọn $z=0\Rightarrow y=5\Rightarrow x=4\Rightarrow M\left( 4;5;0 \right)\in d$.
$\left( Q \right): x+y+z-9=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;1;1 \right)$.
$\left( P \right):x+2y+3z-14=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;3 \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 4;5;0 \right)$, nhận $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 1;-2;1 \right)$ có phương trình tham số là: $d: \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4+t \\
y=5-2t \\
z=t. \\
\end{array} \right.$
Đáp án C.