Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;2;3 \right)$ và $B\left( 3;2;5 \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=2023$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$.
A. $2\sqrt{17}$.
B. $\sqrt{65}$.
C. $25\sqrt{97}$.
D. $205\sqrt{97}$.
Dựng véc tơ $\overrightarrow{B{B}'}=\overrightarrow{NM}$, khi đó $BN=M{B}'$, ${B}'\in \left( Q \right)$ qua $B$ đồng thời song song với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Suy ra $\left( Q \right)=5$.
Vì $B{B}'=MN=2023$ suy ra ${B}'$ thuộc đường tròn tâm $B$, bán kính $R=2023$ nằm trong $\left( Q \right)$.
Gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $\left( Oxy \right)$, ta có ${A}'\left( -1;2;-3 \right)$. Ta có $AM+BN={A}'M+M{B}'\ge {A}'{B}'$.
Gọi $H\left( -1;2;5 \right)$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $\left( Q \right)$. Suy ra ${A}'H=8,HB=4$.
Mặt khác $H{B}'\ge \left| HB-B{B}' \right|=\left| 4-2023 \right|=2019$
Suy ra $AM+BN\ge {A}'{B}'=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{{{B}'}}^{2}}}\ge \sqrt{{{8}^{2}}+{{2019}^{2}}}=205\sqrt{97}$.
A. $2\sqrt{17}$.
B. $\sqrt{65}$.
C. $25\sqrt{97}$.
D. $205\sqrt{97}$.
Vì $B{B}'=MN=2023$ suy ra ${B}'$ thuộc đường tròn tâm $B$, bán kính $R=2023$ nằm trong $\left( Q \right)$.
Gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $\left( Oxy \right)$, ta có ${A}'\left( -1;2;-3 \right)$. Ta có $AM+BN={A}'M+M{B}'\ge {A}'{B}'$.
Gọi $H\left( -1;2;5 \right)$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $\left( Q \right)$. Suy ra ${A}'H=8,HB=4$.
Mặt khác $H{B}'\ge \left| HB-B{B}' \right|=\left| 4-2023 \right|=2019$
Suy ra $AM+BN\ge {A}'{B}'=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{{{B}'}}^{2}}}\ge \sqrt{{{8}^{2}}+{{2019}^{2}}}=205\sqrt{97}$.
Đáp án D.